基于二次曲线的线阵相机标定技术

刘仁峰，龚俊斌，田金文

(1.华中科技大学图像识别与人工智能研究所多谱信息处理技术重点实验室，武汉 430074；2.中国舰船研究设计中心，武汉 430070)

1 概述

线阵相机由于具有比普通面阵相机更大的视野和更高的精度，在多领域具有很强的实际意义。此外，线阵相机所获取的1D数据比面阵相机获取的2D图像数据更容易运算，速度更快。在许多应用场合，需要对线阵相机进行标定。有些方法需要多条线来进行相机的标定，有些方法需要三维立体靶标进行标定[1]，但是立体靶标的制作成本较高，而且加工精度受到一定的限制。

对于面阵相机，目前已经有非常成熟的标定方法[2-4]。线阵相机标定的难点在于寻找成像点与靶标点的对应，因为线阵图像不能提取角点、线段等特征。本文使用包含多个二次曲线的平面作为靶标，这种靶标制作简单，而且对围绕固定轴旋转的线阵相机具有很好的标定效果。由于这种相机各次成像时光心的相对角度是已知的，因此可以充分利用这些信息设计标定方法。

2 基于二次曲线的线阵相机标定方法

针对绕固定轴旋转的线阵相机，首先研究如何将多帧线阵图像排列成面阵图像；其次，研究如何提取二次曲线并且根据二次曲线求解单应；最后，利用面阵相机的标定方法进行标定，再从面阵相机的参数中提取出线阵相机的参数。

2.1 面阵图像

面阵相机的成像平面是一个平面，根据射影几何，二次曲线在面阵相机上的图像仍然是二次曲线[5-6]。本文研究的待标定系统是绕固定轴旋转的线阵相机，通过研究它与面阵相机之间的联系，能够找到它们所拍摄图像之间的等效转换。

图1示意了面阵相机与绕定轴旋转的线阵相机。由图1(b)可见，绕固定轴旋转的线阵相机的成像面等价于一个圆柱面，因此，二次曲线的成像一般不是二次曲线。但是，通过适当的坐标系转换将线阵图像上的点转化到虚拟的成像平面，从而可以将线阵相机的成像变成二次曲线。

图1 面阵相机与线阵相机的示意图

首先，分析投影后u坐标的变换。设通过线阵相机拍摄了 N帧线图像，每次转动的角度为w，w是已知的。从1～N之间任选第p帧作为参考帧，例如选择 p为中间数 p=(N + 1)/2，然后将第i帧线图像的u坐标定义为：

其中，c为任意正实数。

其次，分析投影后v坐标的变换。需要将各帧线图像在v0处对齐，并且对各帧进行尺度缩放。图 2示意了线阵图像向虚拟成像平面上的投影。其中，点O、A、B、C对应于图1(b)中的各点，点E是线图像上的某个点，点D是点E在虚拟投影面上的对应点。

图2 线阵图像向虚拟成像平面上的投影

由图2可得：BD/CE=OC/OB=OA/OB= sec(AOC),BD=CE×sec(AOC)。所以，第i帧线图像的 v坐标缩放尺度为：

式(1)～(3)给出了将线阵图像的坐标(i, v)到虚拟面阵图像的坐标(u′, v′)的转化方法。将N次成像的v坐标进行适当缩放，并按照相应的u坐标摆放，结果等价于面阵相机。于是线阵相机的标定问题转换为面阵的标定问题，可以利用面阵相机已有的标定方法。

2.2 基于二次曲线的面阵相机标定

设二维空间中的点记作向量 m =[u ,v]T，三维空间中的点记作向量 M=[X ,Y,Z]T，m和M分别是相应的齐次坐标。摄像机模型采用针孔模型，那么空间点M与图像点m之间的关系为：

其中，s是尺度因子；［R , t ］称作相机外参数；A称作相机内参数。A可以写成如下矩阵：

其中，(u0,v0)为主点的坐标，α和β分别为图像 u坐标和v坐标的尺度因子。

文献[2]提出了一种基于平面模板的相机标定方法。该方法使用平面靶标，只要进行2次或更多次的成像，然后分别计算图像与靶标之间的单应，就能够计算出相机的内外参数。使用的特征为角点。文献[7-8]推广了这种方法，他们使用二次曲线作为特征，根据二次曲线之间的对应关系求解单应。

本文的方法与文献[7]的方法类似，但做了如下改进：(1)椭圆拟合，根据二次曲线计算单应分别采用的是文献[6, 9]的方法。由于这 2个环节都采用了具有闭合解的方法，因此计算效率高。(2)靶标包含非同心的二次曲线，这样可以消除单应的歧义，并且使得估计的单应更加准确[10]。

2.3 算法的流程

当估计出面阵相机的参数后，可以提取出线阵相机的参数：β是线阵相机的尺度因子，v0是通过光轴在线阵图像上的坐标。将多帧线阵图像排列成面阵图像时，需要用到v0，而v0在标定前是未知的。采用一个梯度下降的方法估计v0。基于二次曲线的线阵相机标定流程如下。

预备工作：

(1)打印一个靶标图案，图案中包括3个或更多的二次曲线，将它贴在一个平面上。

(2)改变靶标(或相机)的位置进行 2次或 2次以上成像。每次成像包含N帧线阵图像，并且相邻两帧线阵图像对应的相机旋转角度为w。

相机标定的步骤：

(1)令k=0。设置v0的初始值为线阵图像的中心坐标=L /2，其中，L是线阵图像像素数目。设置阈值ε和步长l。

(2)对于每次成像，依次做以下工作：

1)将多帧线阵图像摆放成面阵图像，见式(1)～式(3)。

2)从面阵图像中拟合出二次曲线，估计参数[1]。

3)根据二次曲线的参数，求面阵图像与靶标图案之间的单应矩阵[6]。

(3)根据步骤(2)求得的多个单应矩阵，求解面阵相机的内参数[2]。

(4) k←k+1。从面阵相机的参数中提取线阵相机的参数 β(k)和v0(k)。

(5)若当前标定的v0值与前一次的标定值相差很小，＜ ε，则结束。否则，令=+，返回步骤(2)。

3 实验结果与分析

为了检验相机标定算法的有效性，设计了仿真实验。线阵相机的参数设置如下：α=1 200,v0=511，图像分辨率是1 024×1像素。相机每次转动的角度为1.5°，转动范围为 45°，因此，相机在某个位置可以进行31帧成像，选择第16帧作为参考帧。

平面模板包含4个圆，半径均为95 mm，圆心分别位于(100, 100)、(100, −100)、(−100, 100)、(−100,−100)，单位为mm。靶标平面的方向用三维向量r表示(单位为°)；位置由三维向量t表示(单位为mm)。实验中进行了3次测量，靶标平面的方向与位置分别为：

3.1 线阵图像的排列

图3给出了仿真成像的结果。其中，图3(a)是靶标图案；图 3(b)～图 3(d)是靶标位于 3个不同位置得到的多帧线阵图像。实心点代表原始的成像点，空心点代表坐标变换后的成像点。可以看出，排列后的面阵图像可以很好地拟合出椭圆。

图3 靶标图案和仿真成像

3.2 不同随机噪声水平下的误差比较

图像上相应的投影点位置加上均值为0、均方差为σ的高斯噪声。将估计的相机参数与真实值比较。使用相对误差评价α的精度，使用绝对误差评价v0的精度。均方差σ的变化范围从0.1像素～1.5像素。对于每个噪声水平，实验100次然后取平均值，实验结果如图4所示。可以看出，误差与噪声水平大致呈线性关系。当均方差σ=0.5时(高于实际中的噪声水平)，α的相对误差低于 0.4%，v0的绝对误差低于1.5个像素。可见，本文的标定方法精度较高，且鲁棒性较强。

图4 不同噪声水平下的误差

3.3 噪声条件下的椭圆拟合与单应估计

图5给出了均方差σ为10个像素时，椭圆拟合与单应估计的结果。图5(b)画出了将图像根据单应映射到靶标上时的情况，靶标图案和映射后的图像基本重合，说明单应估计得比较精确。

图5 椭圆拟合与单应估计的结果

4 结束语

针对绕固定轴旋转的线阵相机，本文提出了一种基于二次曲线的相机标定方法。靶标上的图案是3个或3个以上的二次曲线。该方法只需要摄像机在2个或2个以上不同的方位拍摄靶标的图像，相机和靶标平面都可以自由移动。由于二次曲线自身包含有丰富的结构信息，因此二次曲线之间的单应不需要利用点的对应，特别适合线阵相机。

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