线性代数教学的认识与实践

王书臣，张 友

(大连民族学院理学院辽宁大连116605)

线性代数是理工科的一门重要的数学基础课程，近年来许多文科专业也开设了这门课程，主要是因为线性问题广泛存在于科学技术的各个领域以及人文科学的许多领域中。在快速发展的电子计算机领域，线性代数又为算法的模式更新提供了技术手段和思维源泉。

线性代数概念多、定理多、结论也多。学生乍一接触很难找到与过去知识之间的联系，与实际生活也建立不起联系。这就使一部分学生在最初接触线性代数的时间里，心理受到很大的打击，可能会一蹶不振，对后续内容的学习产生了畏惧心理，甚至是厌倦，学习消极，最后导致成绩上不来。这方面的表现比较普遍，曾做过问卷调查，也曾访谈过学生，普遍认为线性代数比微积分难学。另外，线性代数的许多技能、技巧需要实际演练，思想方法也是需要在长期教学中逐渐渗透与讲解才能慢慢领悟，并通过习题演练逐渐到位。但由于时间短，习题课的课时比例少，这种先天不足就使目标难以实现。

本文针对线性代数课程的难点和特点，结合多年的教学经验，讨论了如何学好和教好线性代数。从激发学生的认知动因、帮助学生消除抽象感和注重数学思想的渗透等方面总结教学经验，提出改进的建议。在实践中收到良好的效果。

1 激发学生的认知动因

认知动因是指学生参与数学学习活动所需的内部驱动力，起着引发、指引、维持和增强数学活动的作用，是学生自主参与教学活动的基础，真正的学习需要学生全部心理活动的参与，每个学生头脑里的认知结构和意向状态互为前提，互相促进。这将起到激发学习动机，促进个性发展的作用。唤起学生的求知欲，使学习的需求发自内心，产生积极向上的情感，久而久之，学生将逐渐地养成良好的学习习惯。体验积极、愉快、进取、融洽的情感，培养坚强的意识，改变过去消极的学习态度。学习成绩也自然就会提高上来。

激发学生认知动因必须精心设计每一节课。例如，在讲对线性方程组的增广矩阵进行初等变换时，引进《九章算术》中的一道古算题［1］，让学生看到中国古人的解法(方程术)实质上就是线性代数中的基本方法。设计时一定要考虑到让学生成为学习的主人，尊重学生的主体地位，引导组织学生的学习活动，使学生真正地参与到教学活动中来，用内心的体验与创造去学习。在设计时，要发掘多种可能性，重视学生的非智力因素，以具体形象或问题情境作为教学出发点，唤起学生的求知欲望，使学习的需求发自内心，产生积极向上的情感，即使面对学习上的困难，也可以进行自我调节，朝着学习的结果前进。

2 帮助学生消除抽象感

抽象性是困扰学生学习线性代数的最大障碍。现行的线性代数教材普遍有一个缺点，就是缺少知识背景，编写上完全采用逻辑演绎的形式，从定义到定理，从概念到结论，不是按问题解决的方式来展开知识内容，而且，定理往往是成堆的集中出现，让学生应接不暇。这是所谓抽象的主要根源。这样就导致学生的学习始终处于一种迷惘状态，不知在干什么。在做教学设计时，必须充分地考虑到这一点，认真对待每一个问题，任何的抽象都是来自具体的，每一种抽象又是可分层次的，由低向高逐级而来的。所以，要找到每一个问题的源头，使所讲内容具体化、形象化，这就要求一方面充分利用学生的已有知识;另一方面要用类比的方法来处理这些内容［2-3］。

2.1 抽象概念具体化

掌握概念一般认为有两种方式。一是概念形成方式，即通过若干具体例子，逐步归纳概括出一类事物的共同本质属性的过程，这是一种发现学习的过程。中小学中的大部分数学概念都是用这种方式来学习的。另一方式就是概念的同化，即学习者利用原有认知结构中的观念来理解接纳新概念的过程，这是一个接受学习的过程。后者在高等数学学习中使用比较普遍。但由概念到概念很抽象，不易掌握。其实，无论通过哪种方式来获得概念，其最终目标都是掌握同类事物的关键属性。刚刚入学的大学生其实在思维水平上与高中生相差无几，抽象思维能力是有限的，所以这两种概念学习方式要相互结合，共同使用，才能使抽象的概念具体化、直观化、形象化，使学生学得更容易、更顺畅，达到掌握概念的目的。

(1)类比法。虽然线性代数的内容很难找到生活实例，但和中学的代数还是有一定联系的。在讲解某些概念时，可以与初等代数中的概念进行类比。

例如，讲可逆矩阵时，可引入学生非常熟悉的非零实数的倒数的定义，将可逆矩阵与之对于实数a≠0若存在b，使ab=1，则称b是a的倒数，即b=1/a…在实数中，只有0没有倒数，它是特殊的，也就是奇异的，对比之下，对于矩阵A，若存在矩阵B，使AB=BA=E，则称 A是可逆的，B叫A的逆矩阵，A可逆的充分必要条件是|A|≠0，对于|A|=0，A是特殊的，这也正是把不可逆矩阵称为奇异阵的来由。从中还可看出，单位阵E的地位与作用就如同实数中的1。

(2)引导法。先给出一个简单的实例，引导学生将其逐渐复杂化，当复杂到一定程度，用以往知道的概念已经很难描述时，再给出新的概念。例如，讲矩阵的秩的概念时，先让学生观察一个方程组，如

问学生这3个方程之间是否有联系，是否可相互推出，有的同学就会发现第三个方程可以由前个方程推出。即3个方程中“有效方程只有2个”，然后再举稍微复杂一些的方程组，让学生继续观察，说明有效方程的个数其实就是阶梯形矩阵中非零行的个数，这件事很重要。需要下个定义，最后再抛出矩阵的秩的概念［4］。

(3)几何直观法。先通过几何法给学生一个直观的印象，再归纳出抽象的概念。

例如，讲解向量组线性相关和线性无关的概念时，尽管有中学的二维向量和三维向量的直观模型，但四维以上的向量很难建立具体的模型了，n维的就更不用说了，学生会感到非常抽象。首先从几何上直观地给出向量组线性相关和线性无关的含义，得出“平面上任意一个向量都可由两个不平行的向量的线性组合来表示”“空间上任意一个向量都可以由3个不共面的向量的线性组合来表示”的结论。这实际上就是向量的分解，蕴含了基底的概念。然后再归纳抽象出向量组线性相关和线性无关的定义。

2.2 抽象问题具体化

根据学生的思维特点，将教材进行再加工，找到知识发生的起点，同时还要指明知识的去向，引导探究，与学生一起归纳推导出新知识，并将新旧知识进行类比，并说明它们之间的关系，这样就使教学内容具体而生动，学生知道目前所学的内容是怎么来的，干什么用的，与其他知识是什么关系，因而知识就容易接受了。

例如讲定理“方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P1，P2…，Pt，使 A=PaP2…Pt”时，要先讲明这个定理的意义是什么，存在的价值是什么。为此，将其与小学的质因数分解、中学的因式分解作类比，质数是整数里不可再分解的，是整数构成中的基本元素，质因数分解的意义也就在于要搞清楚每一个整数的构成。同样的道理，因式分解的意义就在于要搞清楚每一个多项式的构成，并为其计算和证明提供方便。初等矩阵是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，而初等变换是矩阵的一种最基本的运算，可见，该定理的意义就在于揭示可逆矩阵的结构，并为具体求可逆矩阵提供一个新的途径。这样的讲解，学生的思维不再是抽象的，而是非常具体的。由具体到抽象，再又抽象到具体，这样非常符合学生的认知规律，更有意义的是，这种学习方式避免了一言堂，填鸭式的老一套教学模式，教学目标是师生共同达成的，因为师生共同完成了定理的发现、陈述和证明。也正因为如此，所学的内容在理解上也较为深刻，大大地减少了“只见树木，不见森林”的感觉。

3 重视数学思想的渗透

学习数学并非只是学会一招一式的技能和技巧，重要的是掌握其中的精神、思想和方法，只有这样才能把握它的真谛，才能将数学思维迁移到其他领域中。线性代数中充满了丰富的数学思想方法，对这些思想方法进行提炼，在教学中不断地揭示、渗透与应用，对学生深刻领悟线性代数的内容，提高数学素质，学会用数学思维方式思考问题和解决问题都有很大帮助。

3.1 抽象概括思想的渗透

抽象在数学中是指从研究对象或问题中抽象出数量关系或空间形式，而舍弃其他属性对其进行考察的思想方法。高度的抽象性是线性代数的一大特点，也是一大难点。抽象概括是数学中的基本方法，而在线性代数中则表现的淋漓尽致。线性代数中的定义、定理、公式及符号等都是抽象再抽象的结果，如教材中首先从解二元一次方程组和三元一次方程组引出二阶行列式和三阶行列式的定义，在此基础上结合反序数的概念进一步抽象概括出阶行列式的定义。n维向量空间的概念也是在已经熟知的二维和三维空间的基础上抽象概括出的，逆矩阵、矩阵的秩、初等矩阵、二次型等概念的得出都体现着这种思想方法。不仅定义如此，在解决问题的方式上也是一样的，例如，通过线性方程组解的研究，进一步升级到对向量空间的线性相关、线性无关和极大线性无关组的研究，反过来，向量空间的极大线性无关组的研究又为线性方程组解的结构的研究提供更高一层的概括的基础。实际上，数学中的推广、一般化也就是数学抽象化的一种具体表现［5］。

3.2 求简精神的渗透

全部的数学可以概括为两件事情，一是如何使描述与刻画自然或社会现象的语言变得更简练、更准确、更形式化;二是如何使改造自然或社会的方法变得更简洁。这就是数学的求简精神，之所以把它放在精神层面，是因为它高于普通数学思想方法，具有统领数学意识的作用，在线性代数中，求简精神贯穿全书始终。从最初的行列式的引入就可以看出，它的引入是为了把解线性方程组算法化，使其通过有限个步骤就可实现，这对计算机高度发展的今天尤其有重要的意义。当人们发现解方程组其实与未知数的表示无关，仅与未知数的系数有关，于是，将同解变形简化为只是对一数表进行变形，于是矩阵的概念产生了(当然还有其他因素)，由此，所有的线性变换都可以表示为矩阵的运算。在概括了三种初等变换为矩阵的基本变换后，仍感对一矩阵进行变形时非常麻烦，尤其是在理论表述和证明中多有不便。于是又创造了三种初等矩阵，使其与三种初等变换相对应，这样在理论表述上就大大简洁了。再如，研究向量空间时，受平面向量中基底概念的影响，从而抽象出极大无关组的概念，其基本思路就是在一个向量空间中能用最少的“骨干”向量表示出所有向量，这就是求简。线性方程组解的结构的研究也体现了这一思路，“能否找到有代表性的一组解，使所有的解都可用它们表示?”“所有的解是否有统一的形式?”“齐次与非齐次方程组的解之间是否有一定的关系?”正是有了这样的求简的“追问”，才得出一系列的研究结果。

线性代数中还有许多思想方法，如化归、归纳、递推、分类、类比、变换、构造等等，应在每一节课中都注意渗透和讲解这些思想方法，在做教学设计时，要注意到长期行为与短期行为的关系，形成系统培养的计划，就会把数学思想方法教育做的更好［6］。

［1］史炳星.算法初步［M］.北京:高等教育出版社，2005.

［2］孙小礼.数学与文化［M］.北京:北京大学出版社，1980.

［3］黄秦安.数学哲学与数学文化［M］.西安:陕西师大出版社，1999.

［4］同济大学.线性代数［M］.4版.北京:高等教育出版社，2006.

［5］张友，王书臣.高等数学课程的教学改革和考试改革［J］.黑龙江教育学院学报，2006(5):62-63.

［6］萧树铁.面向21世纪高等数学教学改革的探讨(续二)［J］.高等数学研究，2001(3):4-5.