小尝试 大文章——一节一元二次方程应用题尝试教学的实践与评析

张 艳

（商南县十里坪镇九年制学校，陕西 商南 726306）

如何在新课程理念的指导下改革中学数学课堂教学，把先进的教学理念融入到日常的教学行为之中，已日益成为广大数学教师关注和探讨的热点问题。全国著名教育改革家邱学华老师所创立的《尝试教学理论》为教学理论注入新鲜血液，在教学实践中产生强烈反响。尝试教学理论的基本观点是“学生能尝试，尝试能成功，成功能创新”；基本特征是“先练后讲，练在当堂”。“先练后讲”，说的是在教学中，让学生先去思考，先去练习，再由教师讲解，引导学生进行理解和重建、再尝试。近年我校积极引进 “尝试教学行动研究”这个课题，进行了积极的尝试和教学实验，一年来教师的教学方式发生了可喜的变化。笔者就一节一元二次方程应用题尝试教学实例，谈谈如何采用尝试教学，优化课堂教学，培养创新精神。

教学内容

人教版九年级上册数学22章第3节探究一，本节课主要学习建立一元二次方程的数学模型解决传播问题。

教学目标

知识技能

1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。

2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

过程与方法

经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。通过解决传播问题，学会将实际问题转化为数学问题，发展学生的应用意识。

情感态度

通过一元二次方程解决身边的问题，体会数学的应用价值，提高学生的数学学习兴趣，培养学生的创新精神。

重点：列一元二次方程解有关传播的应用题。

难点：发现传播问题中的等量关系。

教学过程：

一、准备练习

师：（出示准备练习1）（1）如果一个班里有一名同学热爱学习数学，若一名同学一年能带动周围4名同学也热爱学习数学，就这样帮带下去，两年后班里共有几名同学热爱学习数学？三年后呢？

（看到这个题同学们感到很亲切，都很积极地计算交流起来）

生：两年后25名。第一年1个帮4个共5个，第二年 5个又帮 20个，1+4+4×（1+4）=25，两年共有 25名。因为25+4×25=125，所以三年后有125名。

师：（2）若在这种帮带方式实行在我班，现在有10名同学爱学数学，一年后就会有多少人爱学数学了？

生：共50人，比我们班的人还多了。

（同学们都会心的笑了）

师：希望爱数学的同学也像这样发挥团结友爱，互帮互助的精神，带动周围的同学把数学这门课学好。

师：（出示准备练习2）如果班里一人患了流感，一人一天传染给了x个人，两天后共有多少人患了流感？

生：共有〔1+x+x（1+x）〕人，即（1+x）2人。

【评析】练习1以课本例题“流感传染问题”的结构为模型，结合学生学习“传帮带”的背景，设计了一道具体数据的传播问题，既让学生理解了传播的具体经过，为后面理解例题做了铺垫，又与学生生活联系紧密，学生乐于接受且容易理解，特别是对学生进行了互帮互助，团结奋进的思想教育，从学生会意的笑脸上，我知道学生的学习热情被调动起来了，我便乘机告诉学生只要大家肯互帮互助，在九年级这一年里学好数学是一定能做到的。

练习2则是在本节课例题的基础上反向改编的一道题，从练习1的具体数据表示到练习2的用x表示，强化学生的代数意识，与后面的例题形成了层层递进的关系，让学生逐步理解如何用未知数表示两轮传染后的总人数。有了前面练习1的铺垫，练习2学生做得很轻松，特别是对“两轮传染”理解的很到位，教学效果很好。

这两个准备练习的设计由易到难，从特殊到一般，既有例题的影子，又比例题简单易懂，与例题浑然一体，为例题教学打下了很好的基础，为探究传播规律“（1+x）2=总数”做了铺垫，使后面的例题教学变得轻松愉快。

二、尝试自学

（一）出示尝试题

问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（二）自学引导

①不看书自己尝试列方程。

②不会做的翻书看看，再尝试列方程。

③请做法不同的三名同学板演所列方程

生1.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得（1+x）2=121

生2.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得 1+x+x（1+x）=121

生3.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得1+x+x2=121

（三）学生讨论：

①你能点评一下他们三人的解法吗？

组织学生小组内讨论，形成共识后请一名学生点评

生4.我们认为第一种解法和第二种解法都对，而且是一样的，因为 1+x+x（1+x）提公因式后就是（1+x）2。第三种解法是错误的，因为在第二轮传染时第一个人也参与了传染，故传染了x（x+1）人而不是x人。

师：你说的很有道理，感谢你的精彩点评。

②你认为用哪种解法解方程（1+x）2=121更合适？试一试。

生5.我用直接开平方法解得x1=10，x2=-12，因为人数不能为负数，所以x=-12应舍去，每轮传染中平均一个人传染了10个人.

生6.我用因式分解法也解得x1=10，x2=-12，因为人数不能为负数，所以x=-12应舍去，每轮传染中平均一个人传染了10个人。

师：二位同学说的都对，请你们俩在黑板上完整写出自己的解法。

【评析】数学知识大都是通过习题形式出现的，有了准备练习的铺垫，例题就显得通俗易懂，学生更容易理解和接受。以课本中的例题为尝试题，出示尝试题后，学生觉得与前面两个练习很相似，同时产生解决问题的愿望，这时引导学生尝试解决例题就成为学生自身的需要。既然学生已经跃跃欲试，教师就顺水推舟让他们试一试，让学生不看书自己先尝试列方程，练习时，教师要巡回观察，及时了解学生尝试练习的情况；不会做的翻书看看书上的例题分析，再尝试列方程，符合学生自学的愿望；然后请做法不同的三名同学板演所列方程，给学生展示自己才华的机会。这样因人而异的自学方式，便于让学生自己用尝试法解决尝试题，让程度好点的学生获得独立思考解决问题的机会，让程度稍差点的学生通过自学课本获得解决问题的方法，让不同见解的学生有了展示自己的创意的平台，做到了因材施教，以人为本。尝试练习结束后，教师根据学生板演的情况，引导学生讨论评讲，谁做对了，谁做错了，错在哪里。这有利于发展学生的数学语言表达能力以及分析推理能力，更能充分利用错误资源让学生在鉴别中强化认识，提高能力。

三、教师讲解

师：刚才两位同学做得都很好，特别提醒大家在列一元二次方程解应用题时求出解以后一定要检验。刚才这个题的传播源是一个人，若改成“有2人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？三轮后共有几人患了流感”，应怎样列方程？若传播源是a个呢？

学生讨论探究填表：

师：一般情况下，若有a人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了x个人，经过两轮传染后共有b人患了流感，就会得到方程a（1+x）2=b.经过n轮传染后共有 a（1+x）n人患了流感.

【评析】学生尝试列方程、尝试点评以后，迫切需要知道自己算得对吗，讲得对吗。这时听教师讲解已成为他们的迫切要求。学生会做题目．并不等于掌握了，还必须懂得规律得来的过程，理解知识的内在联系。因此在学生尝试练习后，教师要进行系统讲解．这里教师的讲解同过去旧方法不同，不要什么都从头讲起，学生亲自尝试做了练习题，教师可以针对学生感到困难的地方、关键的地方重点进行讲解，由于是九年级的学生，教师讲解可以适当的进行拓展探究，在探究时可让学生再次讨论,进而建立起数学模型：a（1+x）2=b。

四、二次尝试

师：生活中类似于“流感传染”的情景有很多，比如：消息的传播、短信的发送，爱心的传播……，你能否根据自己的生活经验也自编一道用一元二次方程解的传播问题呢？

（要求：4人一小组，每组编一道题并解答，然后由组长展示问题，全班同学比赛列方程）

生1.如果一个人患了红眼病，经过两轮传染后共有25人患了红眼病，每一轮传染中平均一个人传染了几个人？

生2.一个社区有一个热爱环保的人，两轮后带动了16人，每轮平均一人带动了多少人热爱环保？

生3.某人编了一条短信，两轮发送后共有64人收到了这条短信，每轮中平均一人发了几条短信？三轮后共有几人收到了这条信息？

生4.有一种细胞分裂速度很快，两轮分裂后共有441个细胞，每轮中平均一个细胞分裂成了多少个细胞？

（此处学生发生了争吵，有的人认为此题的方程是（1+x）2=441，有的人认为此题的方程是x=441，这是多好的课堂资源呀，此刻我很欣慰，适时地组织学生进行第三次讨论，直至所有的人认为细胞分裂与传播问题本质区别在于一个细胞分裂后形成了新的细胞，原来的细胞就不存在了，所以方程是x=441才对。）

生5.养猪场里有5只猪患了禽流感，两轮传染后共有1445只猪患了禽流感，每轮传染中一只猪传染了几只猪？

……

【评析】学生编得热火朝天，编出的题目五花八门，大家都抢着列方程，每个同学的方程一出，大家的方程就列出来了，让我惊喜的是学生不仅编出的问题背景新颖，而且在编题的时候能考虑到数据要为完全平方数，列出的方程才有合适的解。生5编的猪得禽流感的笑话更是把大家逗得开心一笑，却又不失方程的基本模型，下课铃声在大家愉快的交流中响起了……

此刻学生不仅领会了数学来源于生活，更经历了把实际问题转化成数学问题的过程，真正的体会了一元二次方程是刻画现实生活某些问题的有效数学模型。

笔者为学生的表现感到高兴，为自己成功的尝试感到欣慰，也激励着笔者在尝试中不断摸索，在尝试中不断总结。实践证明，邱学华教授尝试教学课堂教学结构模式能够有效地提高课堂教学效率，教学效果好，要不断地去学习，去实践，去探讨，可以预期会有更多的体验和收获。