“天元术”的衰落：一个文化史视角的审视

张建双，周巧姝，刘鹏飞

（1.吉林师范大学数学学院，吉林四平 136000；2.长春师范学院，吉林长春 130032）

“天元术”的衰落：一个文化史视角的审视

张建双1，周巧姝2，刘鹏飞1

（1.吉林师范大学数学学院，吉林四平 136000；2.长春师范学院，吉林长春 130032）

13世纪左右，中国古代数学中发展起来的“天元术”在中国数学史乃至世界数学史上具有重要的地位，达到了当时世界数学发展的顶峰。但是由于各种原因，“天元术”在元代中叶到明代逐渐衰落，历史的分析能给我们一些有益的启示。

天元术；数学史；文化史

“天元术”作为中国古代数学尤其是宋元数学重要的数学成就之一，在当时的世界发展史上取得了辉煌的成就。但最终“天元术”却逐渐衰落，至明清时期甚至成为绝学，这其中有着数学自身发展规律的因素制约，更重要的是文化价值观层面的因素影响。数学文化层面的审视有助于我们客观地评价天元术，对当前和今后的数学发展、数学传播带来有益的启示。

1 天元术在数学史上的地位

中国自古以来形成了一套以算为中心的筹算制度，就是应用算筹进行计算的方法。算筹是中国古代数学家长期使用的计算工具，它是一种长条形物品，或竹或木，也有金属、象牙或兽骨制作的。《说文解字》中说：“算，数也，从竹、具，读若筭。筭，长六寸，所以计历数者，从竹、弄，言常弄乃不误也。”

算筹记数方法很简单，5以下的数，几根就表示几；6、7、8、9四个数，以一根筹放在上面表示5，再在下面放1、2、3、4根分别表示6、7、8、9。筹的摆法分纵横两种，即：

算筹记数，采用纵横交错的十进位值制记数法，空位表示零。最早记载于《孙子算经》中：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”如51603用筹算表示出来就是：

同时，刘徽指出：“正算赤，负算黑，否则以邪正为异”，即用赤、黑两色分别表示正、负数。此外，还有采用以三角式表示正，以四方形表示负的。算筹是我国古代进行加、减、乘、除、开方等计算的工具，我国传统数学擅长计算，许多计算方面卓越成果的取得，都得益于筹算，天元术无疑就是得益于筹算的一项巅峰成果。12世纪以前，尽管不少国家和地区都有一套解一次和二次方程应用问题的方法，甚至出现了一些解某些三次方程应用的方法。但是，所有这些方法都不是像现在这样，通过设未知数立方程然后求根的。设未知数立方程的这种方法最早形式出现在我国传统数学中，古代数学家把这种方法称作“天元术”。

宋元时期高次方程数值求解技术的发展，引起了对列方程方法的需求。现存于数学书中的“天元”这个名称，最早出现于秦九韶的大衍求一术。在流传至今的数学著作中，首先对天元术进行系统叙述的是李冶的《测圆海镜》（1248年） 和《益古演段》（1259年）。朱世杰的《算学启蒙》（1299年） 和《四元玉鉴》（1303年）二书也曾使用过天元术，尤其是朱世杰的《四元玉鉴》中设天、地、人、物的四元术，还记述了多元高次方程的列方程方法。20世纪美国著名的科学史家乔治·萨顿曾评价说：“朱世杰是属于汉民族及他所生存的时代的，同时也是古今数学史上最杰出的一位数学家；《四元玉鉴》是中国数学写作中最重要的一部，同时也是中古最出色的数学著作之一。”[1]

天元术列方程的方法，与现代代数中的列方程法相似。首先“立天元一为某某”，相当于“设x为某某”，“天元一”表示未知数，在筹算盘上列天元式，先确定未知数一次项系数的位置，在其旁置一个“元”字，其余各项按未知数幂次相对于一次项上下递增或递减排列。李冶在常数项旁置一个“太”字来代替一次项旁置“元”字。如果方程有负系数，就在这系数的个位筹码上加上一斜杠。例如，方程式25x2+280x-6905=0，用天元式表示为如下两种形式。

则表示方程x+150+2160x-1=0。

天元术理论成果上的进步是巨大的，尤其是实现了从几何直观思维向代数抽象思维的转变。原来的方程解法一直受“条段法”的直观图形思想的影响，常数项只能为正，因为常数项通常是表示面积、体积等具体存在的事物。且方程次数不高于三次，因为一般高于三次的方程就很难找到现实问题的原型了。天元术的产生，标志着方程具有了理论化、抽象化的发展，开始脱离原型仅仅考虑模型自身的问题。李冶对天元术探讨，则使方程问题开始离开图形直观，单纯地通过代数方法研究方程。

天元术的出现，为人们提供了列方程的统一方法，其步骤要比阿拉伯的代数学进步得多。而在欧洲，到了16世纪才能做到这一点。我国宋元时期的天元术要领先于世界三四百年之久。而后，人们将天元术进一步发展，创造了二元术、三元术乃至四元术，解决了具有两个、三个、四个未知数的高次方程的解法问题，可以说天元术是我国甚至当时世界“半符号”代数学的起源。

然而，天元术作为中国宋元时期如此先进、重要的数学成果，却在元代中叶及至明代时期逐渐衰落了，在清中叶乾嘉学派重新发掘研究之前，像天元术这样一些宋元数学的精粹，竟长期失传，无人通晓。天元术、四元术、高次方程的数值解法、级数求和、招差法几乎成为绝学。中国传统数学研究不仅没有新的创造，反而倒退了。究其原因是多方面的[2]。

2 基于数学史角度对天元术衰落原因的分析

2.1 天元术的研究超越了实用理性

中国古代一直崇尚将“数学作为实用工具”的数学价值观，这使当时的人们对数学的理解更加趋于实用化，很少对数学观念、方法及构造进行深入的理论层面的思考与研究。宋代的历史条件下，虽然“实用”作为科学思想乃至于思维方式的主流，但还是出现了一些不以实用为目标的研究可能和实现可能的条件，于是天元术理论研究成为现实。而天元术在当时并不具有实用领域，它不是作为一种实用数学研究的结果，而是由于研究者的兴趣产生。蕴涵在天元术其中的深层次算理更不是一般人所能理解与领悟的。

到了明代，实用思想不仅仍为科学思想的主流，而且成为人们具体从事数学工作的指导原则，于是非实用性的研究就成为一件不可能推广的事了。天元术作为宋元数学的巅峰成就，随着时间的推移，延续下来的东西越来越少。在中国传统中“经世致用”的实用主义思想指导下，人们的数学探索不会超越工具理性、实用理性而指向“无用”的东西，天元术没有被后来的筹算数学家们运用与发展，而是在明清之际被更加实用快捷的“珠算”数学所替代。

2.2 天元术使用的符号不够彻底

适当而系统地使用数学符号及形式化的数学语言，这是数学发展的重要条件之一。失去完整的数学符号系统，就相当于失去了数学高速发展的推动力。我国古代数学正缺乏这种适当的数学符号，一切算式都是依靠数字的位置来表示的。数学史家卡约黎将宋代数学未能取得迅速推进的原因归咎于“采用了一种缺乏适应能力并且具有束缚性的记法”，这是有一定道理的[3]。

天元术只能表示一个未知数的方程，即使通过天元术演化的四元术，也只是以上、下、左、右来表示4个未知数相对的位置关系，如果有5个或5个以上的未知数就无法表示，更不能推广了。要使方程变得具有一般化，就必须突破筹算的限制，向符号化的代数转化。现代数学的研究表明：符号的形式可以引起一些抽象的联想，从而在符号基础上有所发展。这便使天元术乃至宋、元后期的数学成果因缺乏较先进的符号而错过了发展契机和动因。

此外，天元术虽然发明的很早，但由于记载天元术的古书中对于运算过程的解释过于简略，在筹算的运演过程中，数字随着运演的进行而消失，中间出现的数字没有保留下来，最后看到的只是运演结果。每一步是否有错误，很难查出，也不容易发现一般规律，使得后人不能理解，进而增大了传播天元术的难度。

2.3 计算工具逐渐发生改变

中国古代数学对算筹存在较强烈的依赖性，这种依赖性在宋元数学时期达到更为严重的程度。元明之际，中国古代数学的计算方法由筹算转变为珠算，这并不是偶然的巧合。中国古代数学对算筹的依赖，不仅是依赖其作为计算工具，而且依赖其独特的运演过程对某些抽象的数学内容的理解，而这些是靠算筹和运演动作的直觉把握和直观领悟实现的。这种直觉把握和直观领悟是很难用文字表述的，只能依靠言传身受。然而，在实用主义价值观念的引领下，当时数学计算工具由“算筹”逐渐变成“算盘”，越来越多的人开始放弃对筹算的学习和研究。正是由于上述特点，一两代人以后，人们已经丧失了对算筹及其运演方法掌握，用筹算记载的天元术的高层次、高水平著作，如《测圆海镜》、《益古演段》等无人能看懂就可以理解了。试想，这些著作的一些内容就是目前对现代数学有相当了解的人士研究起来还颇受争议，当时明代人自然更看不懂那些抽象的数学著作了[4]。

天元术乃至中国古代数学确实存在着很大的弊端和弱点，但若把这些作为天元术衰落的决定性原因未免有些牵强，这些弱点在整个古代数学的发展过程中是普遍存在的。虽然，14世纪初，我国数学发展呈现倒退趋势，且倒退了几个世纪。但不可否认的是，在同样的这些弱点存在情况下的13世纪，我国数学发展达到当时世界数学发展的高峰。一项成就的弱点会导致这项成就的衰落，这种说法本身就是值得商榷的，任何思想或成就在其产生之初都是不完善的，都会存在很多弱点，如果这些弱点成为其衰落的主要原因的话，任何理论都无法起步了[5]。

3 基于文化角度对天元术衰落原因的分析

数学的概念存在于文化之中，即存在于人类的行为和传统思想的主体之中。数学是文明和文化的重要组成部分，所以研究数学史要从民族文化层面出发[6]。天元术的衰落固然有着数学自身发展史上的因素影响，更重要的是基于民族文化传统和文化价值观层面的因素影响，这也是影响整个数学发展的重要因素。

3.1 动荡的社会文化背景影响

天元术的衰落是在蒙古人大规模入侵后改朝换代的过程中产生的，而当时的改朝换代有着极其残酷的性质：当时的蒙古正由奴隶制转向封建制，生产方式远落后于中原。在征服其他民族时，蒙古贵族攻略各地，所过残破，而且常常屠城，变村庄为牧场，以致十室九空。元代统治几十年间，人民的起义从未停止过，改朝换代的战争和动乱日益激烈。火器的使用使物资和人员的损失更大，对社会生活的破坏更是达到了巨大的程度。不仅如此，元代知识分子的社会地位极其低下，统治者将群众分为十个等级，知识分子被放到第九等，竟然在娼妓之下，仅比乞丐高一个等级。这种社会条件下，还有谁会愿意做一名知识分子？还有谁会来研究“毫无意义”的天元术呢？由此我们也就不难理解，虽然朱世杰才高八斗、博学多才，却一直流落民间，以教书为生。而他教学二十余年，他的门第中竟没有出现一个数学家。这并不是朱世杰教导无方，而是当时封建专制不允许人才出现。

恩格斯曾说过：“人们首先必须吃、喝、住、穿，然后才能从事政洽、科学、艺术、宗教等等，所以，直接的物质的生活资料的生产，因而一个民族或一个时代的一定的经济发展阶段，便构成为基础……”[5]如果生产、生活乃至生命都不能保证，还谈何数学研究呢！正是基于这种特定的文化历史背景，天元术丧失了更好的发展空间，天元术在这样的文化历史背景下被人们逐渐忽视。

3.2 封建的科举文化传统的影响

诞生于隋朝的科举取士制度至明朝，发展到了一个新的层次和极致，明代在文化专制上达到了无以复加的程度。朱元璋废掉宰相，严禁隐居，他在《大诰》中规定“寰中士大夫不为君用者，罪至籍抄”，取消了历来士子们无条件享有的“隐居权”，像李冶那样隐居山林研究数学，像朱世杰那样云游四方、设帐授徒研究数学都成为了不可能的事。此外，当时禁止私人学习立法编算，实际上就是禁止私人研习高深的数学。文化专制和思想禁锢的直接结果就是士人不敢治史，学者不敢言学，严重影响了数学及其他学术的发展。天元术经过长时间的搁置，逐渐无人问津。

与封建文化专制加强最为密切相关的是明代科举考试开始了“八股取士”的政策，规定科举考试必须从《四书》、《五经》中命题，是一种明显的思想禁锢方法。这使得大多数年轻学子放弃了对数学的研究，成了数学盲。在封建思想的教育下，多数知识分子秉持着一心只读“圣贤书”的思想，幻想着“朝为田舍郎”，通过八股考试，“暮登天子堂”。而八股考试是不考数学的，以至于大多数学生选择只读一些“子曰诗云之类的宣扬封建礼教与数学无助的文科经书。逐渐地，数学研究失去了群众基础[6]。

3.3 封闭的数学文化传播的影响

不同文化的交流可以促进数学的发展，反之，环境的封闭或对于外来文化的抵制则可能阻碍数学的发展。天元术的成果难以得到必要的交流和传播，这是影响天元术深入发展的重要原因之一。中国传统数学家拥有浓厚的民族数学价值观的传统[7]。天元术的发展是具有地区性的。从一系列天元术的著作中不难发现，其产生地域基本为现今的河北、山西两省的南部及太行山一带。在金元之际，这些地方一度成为商业中心区及文化中心区。天元术在这些地方产生及发展，与当时的经济文化发展有着密切的关系。目前为止，人们还未找到天元术在其他地区有类似的发展。在元朝灭掉宋朝之前，由于长时间的战争和地形的阻隔，南北方的学者之间几乎断绝了学术交往。南方数学家对北方的“天元术”几乎一无所知，而北方数学家也很少受到南方同仁的影响。正因如此，数学家秦九韶、李冶各自完成了一套解方程的术语理论，两者体系却十分相似。这对数学的发展来说，无疑是巨大的人力浪费。

国内尚且如此，当时与国外的交流更是少之甚少，文化沙文主义的价值观念使得中国传统数学家也不可能认同西方的数学传入。李约瑟曾指出：“中国早先几乎与世隔绝，存在排外的社会因素，从中国传出去的东西比传入的东西多得多。”例如，我国的《九章算术》很早就传到日本、朝鲜、印度等国家。但当时反对接受外国数学者大有人在，认为学习外国数学是“不遵守成法”，“失其故步”[8]。正是这种故步自封的社会风气，使得天元术等这些伟大的成就得不到更好的交流完善，逐渐被历史的洪流所淹没。

4 天元术衰落给我们的启示

学术的流传就像一场环环相扣、无穷又无尽的接力赛，其中一环中断，就可能导致整个学术的衰落。天元术无疑是宋元时期一项重要的数学成果，天元术的发展历程真实地反映了宋元数学乃至整个中国传统数学的历史演变趋势，体现了我国传统数学“实用主义”的数学价值观念。客观地审视天元术的衰落原因，并从文化的角度进行分析，不仅能够帮助我们更好地学习数学，更能在现有基础上促进数学更好地发展。

近百年来我们作为一个科学技术上后进的民族一直在努力救亡图存、富国强民，使我们还没有时间仔细思考数学作为一种文化带给我们的启示。知识的传播需要一个过程，一种思想观念的转变更需要一个缓慢的过程。受到中国传统学中数学是实用计算方法观念的影响，人们的潜意识中形成了一种技术实用性的数学价值观念。从鸦片战争开始，人们一直把数学看作实用、富国强兵的工具。从而缺乏理性精神和逻辑精神，长时间停留在感性认知之上，中国古代数学并未构成一个完整的理论体系。对数学知识的过分看重，特别是在功利主义思想的驱使下，数学背后隐藏的文化价值都被忽视了。虽然从技术层面看，我们在短时间内取得了十分突出的成果，体现了民族所拥有的勤劳与智慧，不过在这种学习过程中却极易忽视制度与文化的差异。数学是附带有民族文化传统、民族文化心理的一门学问。作为民族文化的一个要素，数学是我们必须从文化层面给予深入研究的知识内容。

中西方古代数学是两种不同文明中的产物，它们具有不同的数学符号、运演方式和理论结构模式，使得中西方的数学价值观念产生差异。数学在古希腊是一种理性的信仰，在基督教是一种理性的情感，在现代的西方文明数学是一种超越方法意义上的理性精神[11]。相比较于中国传统数学，西方数学具有的这种理性的思想构建方式，正是中国传统数学所缺少并值得借鉴学习的。一直以来我们对数学价值观的研究都缺乏这种数学的理性精神和形式逻辑模式化的思维方式[9]，没有从数学文化的角度去审视数学的历史。特别是在近百年来我们的数学发生重大变革后，大多关注的是数学内容本身，而忽视了数学作为一种文化的研究。我们中国古代传统数学很难跃出本民族范围对整个人类文明产生深远影响。而这种理性精神的成长和思维习惯的建立只能通过数学、数学文化教育的层面来完成。

文化学者的研究告诉我们：文化精神的发展和现代化，离不开原有的民族文化精神，因为民族文化精神是独立地存在于整个社会群体之中的。“一种文化的价值和意义一旦被创造出来，一种文化精神一旦形成，就会存在于整个社会群体之中，世世代代传递，并作为一个有特殊价值和意义的文化世界，建构不同民族一代代人的文化心理和价值观念。朝代可以更替，国家可以盛衰，但文化的固有价值和意义，却不为尧存，不为桀亡。一代人生下来了，他们虽然要从整个时代文化发展中获得精神气质，但是，历史上留下来的风俗、礼仪、伦理道德、哲学观念、民族志、宗教信仰以及语言、神话等等的文化价值和意义，是不会消失的，而且还会积极地建构着新的一代人的文化观念，建构着一代代人的习性、心理、思维方式、行为方式、人格及各种精神气质。他们的习性、行为及种种精神生活虽然也有变化，也向前发展，但总的精神气质，却还是民族的。”[11]

在西方数学引入中国这一百余年来，我们一直将其作为一种方法和技术来学习。在文化层面来说，即便今天我们把数学广泛应用于人类各种活动中，也只是以一个方法论的层面理解。数学作为西方文化中的一种精神、一种信仰、一种理性还没有被我们更好地理解、运用。所以，我们需要更进一步了解、学习和借鉴西方文化中的数学精髓，进而使我们的数学乃至华夏文明有更深远的内涵和更长足的发展。

[参 考 文 献]

[1]G.Sarton.Introduction tothe HistoryofScience.Vol.I[M].Baltimore:Williams&Wilkins,1927:701.

[2]李文林.数学史教程[M].北京:高等教育出版社,2000:104.

[3]吴振英,汤志娜.宋、元两代数学衰落的原因探析[J].肇庆学院学报,2006,27(5):16.

[4]孙宏安.中国古代数学思想[M].大连:大连理工大学出版社,2008:265.

[5]孙宏安.十四世纪中国数学中断的原因浅探[J].辽宁师范大学学报自然科学版,1986(S1):57-65.

[6]郑毓信,王宪昌.数学文化学[M].成都:四川教育出版社,2000:26-27.

[7]徐乃楠,王宪昌.数学文化热与数学文化史研究[J].自然辩证法通讯,2009,31(3):17.

[8]王树禾.数学思想史[M].北京:国防工业出版社,2003:106.

[9]刘鹏飞,徐乃楠,王宪昌.数学价值观是数学文化研究的重要内涵[J].数学教育学报,2012,21(3):2.

[10]王宪昌,刘鹏飞,耿鑫彪.数学文化概论[M].北京:科学出版社,2010:7.

[11]司马云杰.文化价值论[M].西安:陕西人民出版社,2003:385-386.

The Decline of Tian Yuan Shu:A Scanning From the Angle of Cultural History

ZHANG Jian-shuang1，ZHOU Qiao-shu2，LIU Peng-fei1

（1.College ofMathematics，Jilin Normal University，SipingJilin 136000，China；2.Changchun Normal College，Changchun Jilin 130032，China）

In the thirteenth century,Tian Yuan Shu,which developed from Chinese ancient mathematics,played an important role in Chinese mathematical history and even the world mathematical history,so as to reach the top of the mathematical development in the world.But it gradually faded between the middle of Yuan dynasty and Ming dynasty.There are various reasons tocause its sudden decline.Analyzinghistorycan give us some beneficial enlightenments.

Tian Yuan Shu；historyofmathematics；cultural history

O11

A

1008-178X(2013)01-0016-05

2012-10-29

吉林省教育科学“十二五”规划课题（GH11187）；吉林省教育厅“十二五”社会科学研究项目（吉教科合字[2012]第112号）。

张建双（1987-），女，吉林长春人，吉林师范大学数学学院硕士研究生，从事数学文化史研究。

刘鹏飞（1979-），男，吉林辽源人，吉林师范大学数学学院讲师，东北师范大学教育学部博士研究生，从事数学教育、数学文化史研究。