一类椭圆型方程解的能量估计及其应用

胡文燕

（晋中学院数学学院，山西 晋中 030600）

一类椭圆型方程解的能量估计及其应用

胡文燕

（晋中学院数学学院，山西 晋中 030600）

文章对一类椭圆型方程的边值问题进行讨论，给出其解的能量估计，并利用能量积分方法，证明了其边值问题解的唯一性及稳定性。

椭圆型方程；能量估计；唯一性；稳定性

我们考虑如下椭圆型方程的边值问题：

其中Ω是Rn中的一个具有光滑边界Γ的有界区域,且系数aij，bi，c及右端项f都是Ω¯上的连续函数,而且aij在Ω¯上还具有一阶连续偏导数;对一切i，j=1，…，n,aij=aji成立,且存在正常数α＞0,使得对一切x∈Ω¯及任意实向量（ξ1，…，ξn）,

对于该边值问题,文献[1]中给出了其解的存在性,并对其非平凡解进行了估计,文献[2]中给出了其解的存在性和唯一性,文献[3]对其正奇异解进行了能量估计,下面将首先给出其解的能量估计式,并利用能量积分方法,证明其解的唯一性与稳定性。

引理1[4]设u=u（x）在界区域Ω∈Rn上连续可微,且在边界Γ上为零,则成立如下的弗里德里克斯(Friedrichs)不等式：其中C0是一个与u无关的正常数。

证明不妨就n=2的情形证明此不等式,并不妨设Ω在第一象限内,则由Ω的有界性可作矩形

于是利用施瓦兹(Schwarz)不等式,得

由于在Ω外u≡0,故取C0=a2,就有引理证毕。

下面我们首先对问题(1)的解进行能量估计：

证明对问题(1)中的方程两端乘以u,然后在Ω上积分,得

将上式左端第一项利用格林公式[5]进行分布积分,并利用边界条件,可得于是

在实际生长的过程中，春玉米的光合作用效果与叶片中的水势存在很明显的关系，叶片水势上升，则光合作用以及光合产物的运输都有增强，反之则出现下降。因此秸秆覆盖可以更好的提升春玉米光合作用的速率，从而帮助玉米更快的进行光合产物的积累。

其中

记

则对任意给定的ε＞0,有

取ε=α／2Μ,令λ0=2nM2／α+1／2,则当c≤－λ0时就有

再利用边界条件及弗里德里克斯不等式,可知存在不依赖于u的正常数C,成立证毕。

下面利用能量积分方法给出问题(1)解的唯一性与稳定性。

定理2问题(1)的解如果存在的话,它一定是唯一的。

证明设u1，u2是问题(1)的两个解,则其差u=u1-u2满足相应的齐次方程及齐次边界条件：

因此由定理2,uxi≡0，u≡0,唯一性得证。

定理3问题(1)的解在均方模意义下关于右端项f是稳定的，对于任意给定的ε＞0,一定可以找到仅依赖于ε和区域Ω的η＞0,使‖f1-f2‖L2（Ω）≤η,那么以f1为右端项的解u1与以f2为右端项的解u2之差满足

‖u1-u2‖L2（Ω）≤ε。

证明记v=u1-u2,则v满足

则利用能量不等式,有结论成立。

特别强调指出,在定理1中，c（x）≤-λ0的条件是重要的,当这个条件不成立时,能量估计式以及解的唯一性与稳定性都可能不成立。

[1]周展宏.一类椭圆型方程的非平凡解的估计[J].湛江师范学院学报,2006(3)：24-26.

[2]许兴业.一类非线性椭圆型方程解的存在唯一性[J].广东教育学院学报,2005(3)：21-23.

[3]周杰,杨作东.一类拟线性椭圆型方程正奇异解的能量估计[J].南京师范大学学报：自然科学版,2006(1)：21-24.

[4]Yang Zuodong.Ex istence of positive bounded entire so lutions of quasilinear elliptic equations[J].App lied M ath and Com putation,2004,156(3)：743-754.

[5]侍述军.一类椭圆偏微分方程解的凸性估计及其应用[D].合肥：中国科学技术大学,2012.

〔责任编辑 高 海〕

Energy Estimation and its Application of Solition to a Class of Elliptic Equations

HUWen-yan
（DepartmentofMathematics，Jinzhong University，Jinzhong Shanxi，030600）

This article does some research summary on the energy estimation of a class of Elliptic Equations，and using the energy integralmethod，proves the existence and uniqueness of its solution of boundary value problems.

elliptic equations；energy estimation；uniqueness；existence

O175.23

A

2012-08-08

胡文燕（1983-），女，山西平遥人，硕士，讲师，研究方向：应用数学。

1674－0874（2013）03－0012－04