一类Dirichlet边值问题多解的存在性

买阿丽,卢永红,孙国伟

（1.运城学院应用数学系，山西 运城 044000；

2.山西大同大学数学与计算机科学学院，山西 大同 037009）

一类Dirichlet边值问题多解的存在性

买阿丽1,卢永红2,孙国伟1

（1.运城学院应用数学系，山西 运城 044000；

2.山西大同大学数学与计算机科学学院，山西 大同 037009）

利用上下解方法结合变分法得到了一类Dirichlet边值问题四解存在的充分条件。关键词：临界点；上下解；多解；Dirichlet边值问题

其中Lu＝（p（x）u′）′－q（x）u是Sturm－liouville算子，p，q∈C1［0，1］，p，q＞0，f（x，u）在［0，1］×R上是连续的且关于u是Lipschitz连续的，对所有的x∈［0，1］。我们可以得到问题（1）的四个解的存在性并给出了解存在的具体范围。

近几年Dirichlet边值问题解的存在性是学者们研究的热点课题[1-7]，其主要研究方法包括：临界点理论，不动点理论，拓扑度理论，三临界点理论等方法。

将研究如下的一类Dirichlet边值问题

1 预备知识

设空间H=H′［0，1］是Sobolev空间，定义H的内积如下

由内积导出的范数

定义空间X=C1［0，1］，范数为

‖u‖X＝max｛maxx∈［0，1］｜u（x）｜，maxx∈［0，1］｜u′（x）｜｝，显然X稠密嵌入H。

定义泛函Φ：H→R如下

由文献[8]，问题（1）的解等价于泛函Φ的临界点，即〈Φ′（u），v〉＝0，v∈H，其中

设G（x，s）[9]是以下问题的格林函数

格林函数的性质见文献[1]。

定义1泛函Ø：［0，1］→R是（1）的下解是指如果Ø∈C1［0，1］，pØ′∈C1［0，1］使得

－LØ≤f（x，Ø），

Ø（0）≥0，Ø（1）≤0。

定义2泛函ψ：［0，1］→R［0，1］是（1）的上解是指，如果ψ∈C1［0，1］，pψ′∈C1［0，1］使得

－Lψ≥f（x，ψ），

ψ（0）≤0，ψ（1）≥0。

2 主要结果

引理1[10]设H是Hibert空间且X是Bancch空间使得X嵌入H。设Φ是定义在H上的C2－0泛函。假设

（1）Φ′（u）＝u－Au且Φ′（u）是X到X上的Lips－

（2）K=｛u∈H：Φ′（u）=0｝⊂X。

（3）Φ在H上满足（PS）-条件。

（4）存在X中的两个开凸集D1和D2，D1∩D2≠Ø，A（∂xD1）⊂D1和A（∂xD2）⊂D2。

如果存在一路径h：［0，1］→X使得

h（0）∈D1＼D2，h（1）∈D2＼D1，

和

其中∂xD和D—X分别是D关于X的边界和闭包。

引理2[1]函数u∈H是泛函Φ的临界点，当且仅当u∈X是方程

引理3 gradΦ（u）=u-Au，其中

证明对任意的h∈H，。

其中0＜θ＜1。

对任意的h∈H，利用分部积分和格林函数的性质可得，

于是由上式和（5）可得定义线性特征值问题

定义线性特征值问题

（6）有一列特征值（λ1）：0＜λ1≤λ2≤…≤λj≤…。对应的特征函数是φ1，φ2，…。且‖φ‖iH=1，i=1，2，…，构成H的正交基。

引理4假设（H1）成立，则泛函Φ满足（PS）-条件。

（H1）存在数a，b且λk＜a＜b＜λk＋1，k≥2使得

a≤f（′tx，t）≤b，∀x∈［0，1］，｜t｜≥R1。

证明类似于文献[1]中的引理，只需要做如下修改：n

定理1 假设（H1）成立，再假设

（H2）（1）有下解Ø∈C［20，1］和上解ψ∈C［20，1］，Ø≤ψ；

（H3）u≤v有（f x，u）≤（f x，v）。

则问题（1）至少四个解。

证明利用引理1证明此定理，下面验证满足引理的条件即可。

设D1=｛u∈X：u＞Ø，x∈［0，1］｝和D2=｛u∈X：u＜ψ，x∈［0，1］｝。显然D1和D2是X中的开凸集且D1∩D1≠Ø。

若u∈∂xD1且v=Au，则由（H3）得

所以Au≥AØ。

设ω=AØ，下证AØ≥Ø。

事实上，由定义得

-Lω＋LØ=-LAØ＋LØ≥0，

并由格林函数的性质

同理得ω（1）-Ø（1）≥0。

由引理4，ω≥Ø。故AØ≥Ø。

因此Au≥AØ≥Ø。从而A（∂xD1⊂D1），类似的可证A（∂xD2）⊂D2。

假设（H1）中的k=2，选取路径为

下证Φ（h（rs））→－∞，r→＋∞，s∈［0，1］。

注意到（φi，φ）j＝0，i≠j，由内积定义易得，

且‖φi‖H＝1，i＝1，2，…。

因此存在常数C1，C2＞0使得

由（H1），存在常数C3，C4＞0满足

所以

（6）两边同乘以φ，注意到边界条件，得

于是（8）变为

由（7）和（9）得

当r→∞，s∈[0，1]。所以r充分大，

由引理4并应用引理1，问题（1）至少存在四个解，分别为：

[1]Tian Y，Ge W.Multiple solution of Sturm-Liouville boundary value problem via lower an upper solution and variationalmethods [J].Nonliear Anal，2011（74）：6733-6744.

[2]BaiZ.Teupperand lowersolutionmethod for some fourth orderboundary valueproblem[J].NonliearAnal，2007，67（15）：1704-1709.

[3]Averna D，BonannoG.A tree criticalpoints theorem and itsapplications to theordinary Dirichletproblem[J].TopolMethods Nonliear Anal，2003（22）：93-104.

[4]Lin X，Jiang D.Multiple positive solution of Dirichlet boundary value problems for second order impulsive differential equations [J].Jmath Anal Appl，2006（321）：，501-514.

[5]Mawhin J，Willem M.Critical Point Theory and Hamiltonian Systems[M].Springer-VerLag：Berlin，1989.

[6]Agarwal R.P，Hong Huei-Lin，Yeh Cheh-Chih.The existence of positive solutions for the Sturm-Liouville boundary value problem[J].ComputMath Appl.1998，35（9）：89-96.

[7]卢永红，刘宏英.橄榄树距离和及平均距离的求解[J].山西大同大学学报：自然科学版，2010，26（2）：15-17.

[8]Tian Y，GeW.Applications of variationalmethods to boundary value problem for impulsive differential equations[J].Proc.Edinb.Math.Soc，2008（51）：509-527.

[9]郭大均，孙经先，刘兆理.非线性常微分方程泛函方法[M].济南：山东科学技术出版社，1995.

[10]Liu Z L，Sun JX.Invariant sets of descending flow in critical point theory with applications to nonlinear differential equations[J].J.Differential Equations，2001（172）：257-299.

Multip le S olutions to Dirichlet Boundary Value Problem

MAIA-li1，LU Yong-hong2，SUN Guo-wei1
（1.Department of Applied Mathematics，Yuncheng University，Yuncheng Shanxi，044000；2.School of Mathematics and Computer Science，Datong University，Datong Shanxi，037009）

In this paper，by using lower and upper solutions and variationalmethods，we obtain a sufficient condition of four solutions for a class of Dirichletboundary value peoblem.

c ritical point；l ower and upper solutions；multiple solutions；d irichletboundary value peoblem

1674-0874（2013）01-0006-04

O175.7

A

2012-10-10

运城学院基础研究项目[J C-2009024]

买阿丽（1981-），女，山西河津人，博士，讲师，研究方向：常微分方程及其应用。chitz连续。

〔责任编辑 高 海〕