多内积空间的性质

李武明，许 宁

(通化师范学院 数学系，吉林 通化 134002)

1 引言

作为正定内积空间的Euclidean空间(E-空间)与作为不定内积空间的Minkowski空间(M-空间)，在数学与物理中均有广泛的应用.由于Euclidean空间可看作(p,q)型Minkowski空间的子空间，故Euclidean空间理论的研究可纳入Minkowski空间理论研究框架中进行.然而，仅由Minkowski空间理论却不能完全刻划Minkowski空间中向量的性质.例如，任意类光向量的Minkowski内积(M-内积)为零，故由M-内积无法刻划非零类光向量的空间位置.再如，M-空间的非退化三角形，既不满足三角不等式，也不满足反向三角不等式.M-空间中三点问题既与点的位置有关，也与点的顺序有关[1-9].关注如上事实，本文引入以Euclidean空间与Minkowski空间等单内积空间为其特例的半序多内积空间(简称多内积空间)的概念，并应用于考察数学与物理中的问题.下文只在有限维实线性空间中讨论问题.

2 定义与例子

对应于E-内积空间与M-内积空间，还存在一个有别于两者的G-内积空间(一种半正定内积空间).设V是实数域R上的n维线性空间，存在V上实对称双线性函数ρ:V×V→R,和一组基向量e1,…,ep,ep+1,…,ep+q=en,满足

则称ρ为V的G(M，E)-内积，V称为n维(p,q)型G(M，E)-内积空间，记为(V,ρ),并将ρ(u,v)记为(u,v)G((u,v)M,(u,v)E).若(1)式改为

则得到负定(半负定)内积空间：E*(G*)-内积空间.

例1 设n维实线性空间Rn=L(e1,…,ep,ep+1,…,ep+q=en),ei为单位矩阵En的第i个行向量，定义实对称双线性函数ρ:Rn×Rn→R

ρ(x,y)=x1y1+…+xpyp+

(xp+1yp+1+…+xp+qyp+q),

ρ(x,y)=-x1y1-…-xpyp-

(xp+1yp+1+…+xp+qyp+q),

本文论及的单内积空间为如上五种内积空间，论及的内积也自然是如上五种内积.

定义1 设V为实域R上的线性空间，⪯1,⪯2,…,⪯m是V的半序关系，ρ1,ρ2,…,ρm是与半序关系对应的V的内积.若(V,⪯i,ρi),i=1,2,…,m均为半序内积空间，且m>0,则称V为R上的A型多内积空间，记为

(V,⪯i,ρi)i∈1,2,…,m或

(V,⪯1,ρ1;⪯1,ρ1;…;⪯m,ρm).

(1)

在如上定义中，若V的内积有m+1个：ρ0,ρ1,ρ2.…,ρm,则称V为实域R上的B型多内积空间，记为

(V,ρ0;⪯i,ρi)i∈{1,2,…,m}

或(V,ρ0;⪯1,ρ1;⪯1,ρ1;…;⪯m,ρm).

(2)

A型与B型多内积空间，统称为多内积空间.

显然，m=0时，B型多内积空间退化为单内积空间；m=1时，A型多内积空间退化为半序单内积空间.

例2 时空平面R1,1={xe1+ye2}的基向量e1,e2关于Clifford代数Cl1,1的内积满足e1·e1=-e2·e2=1,e1·e2=0,R1,1关于该内积作成Minkowski平面[1,3,4,6].任取w1,w2∈R1,1,定义w1⪯w2⟺w2-w1∈D={w=xe1+ye2|e·e=x2-y2=0}.则(R1,1,(,)M;⪯,(,)E)构成B型半序双内积空间[4,10].

多内积空间的一种特殊情形是，与各种不同半序关系对应的内积都相同.这时称其为多半序单内积空间.具体定义如下

定义2 设(V,ρ0;⪯1,ρ1;⪯1,ρ1;…;⪯m,ρm)为半序多内积空间，且有ρ0=ρ1=…=ρm，则称其为多半序单内积空间，并简记为

(V,ρ0;⪯i,)i∈{1,2,…,m}或(V,ρ0;⪯1;⪯2;…;⪯m,).

(3)

例3 任取w1,w2∈R1,1,定义

w1⪯1w2⟺|x2-x1|

|y2-y1|

则

(R1,1,⪯1,(,)M;⪯2,(,)M)=

(R1,1,(,)M,⪯i)i∈{1,2}

(4)

为双半序单内积空间.

定义3 设(V,ρ0;⪯i,ρi)i∈{1,2,…,m}为半序多内积空间，称

(V,ρ0;⪯ik,ρik)ik∈{1,2,…,m|k=1,2,…,n≤m}及

(V,⪯ik,ρik)ik∈{1,2,…,m|k=1,2,…,n≤m}

(5)

为(V,ρ0;⪯i,ρi)i∈{1,2,…,m}的一个限序子空间.

例4 在例3中，(R1,1,⪯1,(,)M)与(R1,1,⪯2,(,)M)均为(R1,1,⪯1,(,)M;⪯2,(,)M)的限序子空间.

定义4 设(V,ρ0;⪯i,ρi)i∈{1,2,…,m}为半序多内积空间，设di是由ρi(i=1,2,…,m)导出的距离函数，则称(V,d0;⪯i,di)i∈{1,2,…,m}为由(V,ρ0;⪯i,ρi)i∈{1,2,…,m}导出的(半序)多距离空间.

3 应用

本节将给出多内积空间应用于(1，1)型M-内积空间(Minkowski平面，时空平面)的实例，得到的相关结果可向一般的(p,q)型M-内积空间推广.

3.1 类时向量、类空向量及类光向量的统一表达式

在例5所述的由半序双内积空间(R1,1,(,)M;⪯,(,)E)导出的半序双距离空间(R1,1,σM;⪯,σE)中，任取w∈R1,1,w可表为w=σ(w)δ(w)exp(e12θε)，

其中σ(w)可表为

exp(e12θε)可表为

即ε∈{0,1},当σM(w)≠0时，ε=1,当σM(w)=0时，ε=0.非类光向量的幅角θ=arctanh(sgn(xy)min{|x|,|y|/max|x|,|y|}).w的示向向量δ(w)可表为

(6)

称为w的示向向量.如此，利用多内积空间的性质，给出了(1，1)型M-内积空间中三种向量的统一表达式.

3.2 依序反向三角不等式

参照例3，给出如下多半序单内积空间(R1，1，(，)M，⪯i)i∈{1,2,3,4},其中⪯i(i∈{1,2,3,4})定义为⟺w2-w1∈R1,1(i),其中

∀w1,w1∈R1,1.

先由限序子空间(R1，1，(，)M，⪯2)展开相关问题的讨论.

任取w0,w1,w2∈R1,1，若有w0⪯2w1,w2⪯2w2,则有

σM(w1+w2-2w0)≥σM(w1-w0)+σM(w2-w0).

特别地，w0=0时，有如下反向三角不等式

σM(w1+w2)≥σM(w1)+σM(w2).

(7)

易知，当w1,w2∈R1,1(i)(i∈{1,2,3,4})时，对R1,1(i),上式总是成立的.当然，也有如下的反向Schwarz不等式

(8)

及依序反向三角不等式

σM(w3-w1)≥σM(w2-w1)+

σM(w3-w3),w1⪯w2⪯w3

(9)

成立.

由(7)式，∀w1,w2,…,wn∈R1,1,若w1⪯iw2⪯i…⪯iwn,i∈{1,2,3,4}则有如下不等式

σM(w1+w2+…+wn)≥σM(w1)+

σM(w2)+σM(wn)

(10)

记L[AB]为R1,1上以A为起点以B为终点的所有类时曲线所成集，LAB为L[AB]中直线段，wAB为以A为起点，以B为终点的向量.任取L∈L[AB]由σM(L)表示其长度，则有如下线段最长定理

σM(L)≤σM(LAB).

(11)

事实上任取L∈L[AB]，由L的连续性知，在L上可由A至B顺次取到点

A0(=A),A1,…,Am-1,Am(=B),

使得m→∞时有max{wA0A1,…,wAm-1Am}→0，从而有

(12)

其几何意义为：在连接两点的所有类时曲线中，线段最长.

例6 在R1,1中定义三内积空间

(R1,1,⪯1,(,)M;⪯2,(,)E;⪯3,(,)G),

其中w1⪯1w2⟺w2-w1∈R1,1(2);w1⪯2w2⟺w2-w1∈R1,1;w1⪯3w2⟺x2-x1≥0,∀w1=x1e1+y1e2,∀w2=x2e1+y2e2∈R1,1.则其单序子空间(R1,1,⪯3,(,)G)具有与(11)相对应的线段与曲线等长定理

σM(L)=σ(LAB).

(13)

而单序子空间(R1,1,⪯1,(,)M)及(R1,1,⪯2,(,)E)=(R1,1,(,)E)则具有线段最长定理及熟知的线段最短定理.

参考文献：

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