一道解析几何题运算教学的实践与思考

●崔志荣 (安丰中学 江苏东台 224221) ●薛宗华 (东台市教育局教研室 江苏东台 224221)

注重运算能力的培养，是我国数学教育“双基”教学的传统特色.但是，近年来，学生的运算能力在下降，突出表现在字母运算、处理多元变量等方面，对于高中生而言，解析几何的运算问题尤为突出.面对这种学习状况，作为一名高中数学教师，怎样在教学中着力提高、逐步培养学生的运算能力呢?

1 一道解析几何题的考情

最近，笔者所任教学校组织了2013届高三学生摸底考试，数学试卷的第19题为：

图1

(1)若l的斜率为1，求l'的方程;

考试结束后，笔者发现这道解析几何题并不是特别难，但学生的得分率却非常低.本题满分16分，人均得分约6.5分，从具体的统计数据来看，大部分学生得到了第(1)小题的6分，只有个别学生答对了第(2)小题.于是笔者又对本班学生进行访谈，大部分学生的回答是“第(2)小题我会做，但时间不够，来不及运算，如果再给我10分钟，也许能做对”，还有一部分学生的回答是“这道解析几何题的第(2)小题计算量太大、太复杂，我没有信心算下去”.为此，在试卷评讲中，笔者侧重于对第(2)小题从运算教学的角度作了一些尝试，现整理成文与大家交流.

2 运算教学的课堂实践

教师：本题是解析几何问题，第(2)小题得分率很低，其中一个重要原因是运算能力问题，现在大家都已经看到了这道题的参考答案，本节课我们主要研究第(2)小题的解题运算，哪位同学先来回答一下参考答案的解题思路.

投影展示参考答案(2)设直线AB的方程为

从而线段AB的中垂线方程为

学生1：先联立直线与椭圆的方程，化简得到根与系数的关系，从而求出弦AB的长与AB中点N的坐标，再由AB的中垂线方程解出点M的横坐标，可求出弦FM的长，最终得出结论.

教师：不错，我们把这种方法称之为“代数法之韦达定理”.这样的解题思路容易想到吗?

学生2：容易想到，但却不容易解出答案，运算有些复杂.

教师：学生2说运算有些难，难在哪里?

教师：很好，同学们一定要加强运算能力的训练，只要运算中有一点点失误，就很难得到正确答案.请同学们再思考，还有没有别的办法求弦AB的长，以达到简化运算的目的.

停顿后有学生回答.

学生4：由于AB是过焦点的弦，因此可用焦点弦长公式|AB|=|e(x1+x2)-2a|.

教师：焦点弦长公式怎么推导?

学生5：运用圆锥曲线的第二定义.

教师：先推导焦点弦长公式，再由此求弦AB的长.

由根与系数的关系，得

教师：同学们，这样的解答是不是简单多了，那么，求弦FM的长有简化运算吗?

没有学生回答.

教师：对于AB中点N的坐标，可用设而不求的办法吗?

学生7：设N(x0，y0)，AB 中垂线方程为

教师：通过优化，我们发现原题的解答运算就不难了，那么是不是参考答案的解答就一无是处呢?

学生8：不是，如果不是焦点弦的问题，那还得按参考答案的方法来求解.

教师：对，我们在处理解析几何问题时，要加强基本运算的训练，如果不是焦点弦，那么还得具备一定的运算能力，当然也要总结方法、比较方法，才能有“巧算”.现在，大家重新思考参考答案的解题思路，看是否有其他方法?

学生9：可以用点差法试试，因为涉及到弦的中点问题.

学生 10：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点N(x0，y0)，则

教师：同学们用点差法可顺利求得AB及AB中垂线的斜率，那么如何求弦AB的长与弦FM的长呢?

教师：学生11仍然运用了焦点弦长公式，得到了弦AB的长只与弦AB中点N的横坐标有关，那么怎样求弦FM的长呢?

学生12：AB的中垂线方程为

教师：好，下面请同学们来验证一下老师的猜想对不对.请男生用“代数法之韦达定理”完成，女生用“代数法之点差法”完成(目的是加强男生的运算耐心).

教师最后投影展示2组学生代表的解答，并加以点评总结(学生的解答过程与原题的简化运算基本一致，这里不再书写了).

教师：通过本节课的学习，我们在以后的解析几何学习中有哪些需要注意的地方?

学生14：要加强基本运算能力的训练，加强方法的比较，通过分析与比较有时会得到“巧算”.

教师：是的，在学习解析几何时，要重视基本思路、基本运算;要重视分析、比较;要重视过程步骤、针对性训练.这些问题，在我们以后的学习中，还要进一步加强研究.

3 运算教学的几点思考

解析几何作为一种重要的数学思想方法，一直是高考的重点和热点之一，这部分内容也格外受到师生的重视.但一个不容否认的事实是：教师往往感到这部分内容的教学效果不如人意，学生似懂非懂，解题出错率高.结合以上的教学实践，笔者对解析几何的教学有几点思考：

(1)重基本思路，重基础运算.

本文中测试题的参考答案为基本方法，学生容易理解，教学中不可轻视这种基本思路的讲解，但它的运算量偏大，学生不敢动笔，说明基础运算是我们教学中的一个大问题.在平时教学中，如果过于走捷径、用技巧运算，会造成学生眼高手低，基础不扎实，使他们在考场总想容易的方法，那么就容易导致失败.据此，笔者认为在解析几何教学中，要重视基本方法的剖析，淡化技巧方法的讲解，淡化特技运算，重视基础运算.

(2)重分析，重比较.

在解析几何题中，许多题目是有多种解法的，它们的思路不相同，实际运算效果也不一样.因此，在教学中要做到：一是重视思路的分析.比如本文中“代数法之韦达定理”及“代数法之点差法”都是合理的分析方法.二是重视方法的比较.可以看出，这道题目运用韦达定理与点差法处理的运算效果是不同的，如不涉及到弦的中点，点差法就失效，再如，在韦达定理中，用到了焦点弦长公式，若不是焦点弦，则还需要用参考答案的解法.只有通过思路的分析和比较，才能使不同层次的学生有不同的选择，才能使他们更准确地认识问题的本质，才能使他们在解题时游刃有余.

(3)重过程步骤，重针对性训练.

(4)代数方法为主，几何方法为辅.

解析几何的本质是用代数的方法解决几何问题.解题结构为：几何问题到代数问题到代数研究再到几何结果，几何法不应是解析几何的教学重点.有些经验丰富的老教师，知道不少解析几何题的背景，课堂上能把问题一步剖析到简洁的几何方法，讲得很轻松，又无运算量，学生接受得也快，但实际上却是无效的，能有多少学生在考场上知道高考题的背景，很快想到巧妙的几何法?在教学中，还是要脚踏实地用好代数方法，几何方法为辅助，比如圆锥曲线的定义、圆的性质等重要的几何知识可作为辅助使用.

(注：本文是江苏省盐城市教育科学“十二五”规划课题《提高高中学生运算能力的校本研究》的阶段成果.)