半导体环形光延时线的非线性传输特性研究＊

张 彬

（中国科学院 长春光学精密机械与物理研究所，吉林 长春 130033）

引 言

慢光传输是基于在谐振腔中群速度随着腔体finesse的升高而减少的原理，Melloni实验证明了这一设想［1－2］。这种长链的串联谐振腔的结构称为慢波结构（SWS）［3－4］。微环谐振器具有周期性的色散特性，可以构成人为的光延时线，应用于色散补偿等场合。由于光纤材料对于不同波长的光有不同的折射率，因此，不同波长的光在光纤中传输的速度是不同的。另外，光在光纤的包层中传输也具有不同的折射率和传输速度，这种现象称为材料色散。当一个脉冲在光纤中传输时，由于波长短的光较之波长长的光具有更大的群速度，会造成脉冲波形失真。2.5Gbit／s的光网络可以容忍16 000ps／nm的色散，40Gbit／s的光网络只能容忍60ps／nm的色散。另一种色散是极化模式色散，这是由于光纤因机械应力引发的双折射现象使得两种极化光具有不同的群速度。众多学者提出了应用微环谐振器构成的光延时线色散补偿结构。Madsen于1999年使用掺入Ge的二氧化硅波导构成两级并联耦合的环形陷波滤波器实现了色散补偿［5］。该器件在每个环的上包层覆盖铬电阻以实现可调的光延时，器件自由光谱区（FSR）为12.5GHz。器件色散为4 200ps／nm，群延时纹波小于5ps，光损耗小于3dB，通带宽度为4.5GHz，可以补偿正色散也可以补偿负色散。Horst在2000年提出使用四个环串联的环形谐振器实现色散补偿［6］，使用SiON工艺制作环形谐振器的FSR分别为25GHz，33GHz和50GHz。使用器件表面金属加热器实现可调相移，在22GHz的带宽内实现了－415ps／nm的色散。组合单环谐振器和马赫曾德尔干涉器（MZI）可以提供更大的调节的自由度，文献［7］制作了包含四个环形谐振器的光延时线，方向耦合器长度为350μm，微环半径为1mm，FSR为74.4GHz。对10Gbit／s群延时调节范围100ps，二阶色散调节范围为255ps2，三阶色散为2 430ps3。

串联多个环形谐振器形成周期性结构可以引入群延时，从而实现一定波长光的群速度减慢，这一概念在光子晶体波导中得到扩展，文献［8］设计了多个空气空洞形成的周期性结构的光延时线，环阵列间隔a＝437nm，空洞半径为0.25a。测试得到的传输谱表明在1 620nm处折射率增加到非常大的数值，更高的波长的光被禁止传输。在20nm的波长范围可以实现近300倍的光群速度减慢，并可以通过顶层金属加热装置人为调整光的群延时。国内众多学者也对类似周期性波导的光速减慢效应进行了研究，其中文献［9］提出了一种光波导中全光等效光速减缓方法，并结合计算机模拟和实验结果进行分析，文献［10］用时域有限差分方法（FDTD）研究光波在光子晶体光波导中的传播规律。

长链微环谐振器中很多非线性光学效应将影响光学延时线的色散补偿性能［11－12］。完整描述长链微环谐振器的周期性波导结构的非线性效应需要使用非线性Schrodinger方程，本文从Schroding方程的数值解法出发，详细分析了长链微环谐振结构的各种非线性效应，并分析了几个关键系数（二阶色散、三阶色散、非线性系数）对长链微环结构的影响，做出了工作模式分区图以及在不同光学参数下的长链微环谐振结构的传输特性。

1 长链微环谐振器的工作原理

光波可以通过使其在光学谐振腔中来回循环传输而获得减慢。例如Bragg光栅的部分反射元件插入到FP谐振腔中可以获得光波的群速度减慢。另一种方法是直接耦合若干的谐振腔布洛赫波由一个平面波和一个周期函数u（r）（布洛赫波包）相乘得到，其中u（r）与势场具有相同周期性。布洛赫波的具体形式为：

其中k为波矢，r为空间矢量，波函数u（r）称为布洛赫函数。当势场具有晶格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程的解ψ存在性质：

其中Rn为晶格周期矢量，式（1）、式（2）称为布洛赫定理（Bloch′s theorem）。可以看出，具有上式性质的波函数可以写成布洛赫函数的形式。更广义地，布洛赫波可用于描述周期性介质中的任何“类波动现象”，譬如周期介电性介质（光子晶体）中的电磁现象；周期弹性介质（声子晶体）中的声波等等。

图1是一种典型的圆环形周期性波导结构。定义环半周长为d，k为光的波矢量的模，单环结构的输入输出之间的关系为：

由布洛赫定理得周期性结构的边界条件可以表达为：

因此得到下面的一维的本征方程：

当参数R＝2.5μm，L＝4R＝10μm，λ＝1.55μm时，有效相移φeff和光波波长的关系如下图2所示，由于光波波长和光波能量成反比例，从物理意义上图2类似于固体物理中的能带的概念称为光子能带，对于单环的情形可以看到光子能带是连续的，即能带之间没有间隙。

对有一定带隙的光子能带分布：一方面由于带隙的存在可以阻止一定频率的光波通过，可以作为光滤波器使用；另一方面，由于周期性波导的布洛赫群速度小于真空中的光速，具有非线性传输特性。对于全通滤波器的情形，周期性结构中的总场是bloch波，以不同的相速度传输，但是具有一定的群速度。第q个谐波分量为：

图1 单环全通延时线的结构Fig.1 Single all－pass delay line structure

图2 单环全通结构的光子能带Fig.2 Optical waveguide of single ring all－pass structure

对于特性谐波分量，波矢可以展开成为泰勒级数形式，其中二阶分量和三阶分量分别成为二阶和三阶色散系数，将会引入非线性色散效应。考虑到腔体内激光的输入功率将影响有效相移φeff，该效应成为微环谐振结构的非线性效应，有效非线性常数γeff，用以表征该效应：

其中Pin为输入光功率。完整地描述光波在非线性介质中的传输需要使用非线性Schrodinger数值解法。

2 微环光延时线的结构的非线性效应

前述分析表明长链微环谐振结构具有光子能带特性，其有效波长和波矢具有一定的关系，从而决定该结构具有二阶和三阶色散效应，同时腔体内激光功率也会通过非线性效应影响有效相移。通过数值求解Schrodinger方程，可以定量分析微环谐振结构的各种非线性延时特性，主要包括色散和自相位调制效应。

2.1 色散效应

非线性Schrodinger方程中如果只考虑二阶色散系数是出现时域脉冲展宽现象（group velocity dispersion，GVD）的因素。设定二阶色散系数为0.63ps，初始高斯脉冲半峰值宽度为10ps，波长为1.55μm时候的脉冲传输特性如图3所示，图3（a）是时域的传输情况，图3（b）对应频域的结果。图4为不同长度时域波形图，其中Ld为有效传输距离［12］，从图中可以看到随着长度的增加（2Ld、3Ld、4Ld、5Ld），脉冲宽度逐渐展宽，并在较长的情况下（5Ld）出现时域振荡的结构。

图3 非线性色散效应Fig.3 Nonlinear dispersive effect

2.2 自相位调制效应

在二阶色散和三阶色散系数为0时，只考虑非线性系数的影响会发生自相位调制效应。其脉冲传输解为：

图4 不同传输长度时域波形Fig.4 Time domain waveform with different transfer length

其中U（0，T）为初始强度分布，φeff为非线性相移，LNL为非线性作用长度，Leff为有效长度（是损耗系数α和长度L的函数）。自相位调制（self phase modulation，SPM）效应在保持脉冲形状不变的情况下，产生光强变化的相位。非线性相移φNL随长度的增加而增大。最大相移出现在脉冲中心。相位随时间的导数是频移，在脉冲前沿频移为负数（红移），后沿附近为正（蓝移），这种前后边沿的频谱展宽是SPM的主要特点。

设定非线性系数为7.219 7×10－4／（μm·W）时，初始高斯脉冲半峰值宽度为10ps，峰值功率为1W，波长为1.55μm时候的脉冲传输特性如图5所示，图5（a）是时域的传输情况，图5（b）对应频域的结果，图6为器件不同长度（πLNL，2πLNL，3πLNL，4πLNL）时脉冲频谱演化图。由于在整个频谱范围内附加了不同的非线性相移，会产生干涉相消或者干涉相长，从而在整个频谱范围内会产生振荡的结构，且长度越长，峰的数目越多。

图5 非线性自相位调制效应Fig.5 Nonlinear self－phase modulation effect

图6 不同传输长度脉冲频谱演化Fig.6 Frequency spectrum development with different transfer length

3 环形光延时线的结构的非线性分区特性

使用布洛赫分析的方法导出了相应延时线的色散和非线性特性，从而可以进一步做出不同的工作模式的分区图。单环串联延时线的几个关键系数（二阶色散、三阶色散、非线性）如图7所示，二阶色散系数在负失谐时为正数称为正常色散区域，在正失谐时为负数称为反常色散区域，且无论是正失谐还是负失谐都随着失谐振频率的提高二阶色散系数以指数形式减少；三阶色散在零失谐频率为负数，而在两侧取负数。非线性系数在零失谐附近呈现高斯脉冲形式分布。

图7 单环全通滤波器的关键系数和失谐频率的关系Fig.7 The relationship of single ring all－pass filter coefficients with detuning frequency

非线性作用长度和二阶色散作用长度的比例称为孤子系数［12］，定义为：

N用以决定在这个脉冲演化过程中是SPM还是GVD起作用。N≪1时，色散起主要作用；当N≫1时，SPM起主要作用，N≈1时色散和SPM同时起作用。二阶色散系数β2的符号决定GVD是在正常色散区（β2＞0）还是反常色散区（β2＜0）。

在N＝1的情形下，在正常色散区内，其脉冲展宽速度比N＝0（无SPM效应）更快，SPM使得脉冲前沿的红移分量较脉冲后边沿蓝移分量传输更快，这样就加剧了脉冲的展宽。在频率域，GVD也对SPM引起的频谱展宽有作用，它减慢了频谱展宽的速度。

在N＝1的情形下，在反常色散区，SPM使得脉冲前沿的红移分量较之脉冲后沿蓝移分量传输减慢，这样就减缓了脉冲的展宽。如果开始为高斯脉冲形态，开始时候，脉冲展宽的速度远小于无SPM的情形，当z＞4LD后，基本达到稳定状态。在频率区域，GVD的作用，使得SPM脉冲频谱窄化，当z＞4LD后，基本达到稳定状态。总之GVD和SPM联合作用使得脉冲整形转换为基态孤子本征态所支持的双曲正割脉冲。如果开始输入的是双曲正割脉冲则脉冲形状和频谱均保持不变，这是基态孤子情形。

图8表示了二阶和三阶色散作用长度及非线性作用长度与失谐频率的关系。图中显示了高斯脉冲峰值功率分别为0.5W、0.8W、1.1W时，非线性作用长度曲线的变化。对失谐频率50GHz的情况进行了数值仿真分析，取环半径为5μm，环间距为10μm。对于InP波导，n2＝2×10－17m2／W，Aeff＝10μm2。在50GHz失谐点处二阶色散系数为－0.634 4ps2／μm，三阶色散系数4.654 6ps3／μm。在脉冲峰值功率比较小时，色散起主导作用，脉冲传输特性如图9（a）所示；随着脉冲峰值功率越大，非线性作用长度曲线上移，与二阶色散作用长度曲线之间更为接近，当功率达到了临界功率／γT0＝8.7W，对应孤子系数为1，在50GHz失谐点处色散作用长度等于非线性作用距离，如果是反常色散区可以形成孤子传输，如图9（b）所示。同时注意到三阶色散效应也会对脉冲传输造成一定的影响，对于50GHz的失谐点处，三阶色散系数β3＞0，脉冲形状出现畸变，在后边沿附近形成非对称的拖尾结构。如图9（c）所示，如果β3＜0，则脉冲拖尾出现在脉冲前沿。

图8 二阶和三阶色散作用长度及非线性作用长度与失谐频率的关系Fig.8 The effect of detuning frequency on two and three order dispersion length，nonlinear effect length

图9 不同光学参数时的微环全通延时线传输特性Fig.9 The transfer characteristics of micro－ring all－pass delay line with different optical confidents

4 结 论

本文从Schroding方程的数值解法出发，详细分析了长链微环谐振结构的各种非线性效应，并分析了几个关键系数（二阶色散、三阶色散、非线性系数）对长链微环结构的影响，做出了工作模式分区图以及在不同光学参数下的长链微环谐振结构的传输特性。分析表明微环光延时具有两方面含义：一方面由于带隙的存在可以阻止一定频率的光波通过；另一方面，由于周期性波导的布洛赫群速度小于真空中的光速从而具有非线性传输特性。该分析方法对微环延时线器件设计和优化具有一定的指导作用。

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