通弦路径与上半平面圆及矩形的相交概率

梁静

（淮南师范学院 数学与计算科学系，安徽 淮南 232038）

数理化研究

通弦路径与上半平面圆及矩形的相交概率

梁静

（淮南师范学院 数学与计算科学系，安徽 淮南 232038）

在上半平面H中一条通弦SLEk路径与一个圆心在实轴上的半圆相交概率的基础上，给出了上半平面中H中一个圆与通弦SLEk路径相交的概率估计；同时得出上半平面H中一条通弦SLEk路径与一个矩形相交的概率估计。

SLE；相交概率；吞并时间；限制性质

引言

随机洛纳演变（SLE）是由O.Schramm①O.Schramm.Scaling limits of loop-erased random walks and uniform spanning trees，Isral J.Math, 2000,118:221-288.在研究一些统计物理的二维模型中，成功运用并得到严格数学结果的一族一元随机增长过程。②Steffen Rohde and Oded Schramm.Basic properties of SLE，Ann.of Math,2005,161(2):883-924.中研究了SLE的基本拓扑和几何性质③V.Beffara.Hausdorff dimensions for SLEk，Ann.Prob,2004,32:2606-2629.，中确定了SLE6曲线外界的Hausdorff维数，若干年后④V.Beffara.The dimensions of the SLE curves，Ann.Prob,2008,4:1421-1452.，证明了SLE曲线的Hausdorff维数是更多内容请参阅⑤J.Cardy.SLE for theoretical physicists，Ann.Physics,2005,318:81-118.⑥G.F.Law ler.Conformally Invariant Processes in the Plane，American Mathematical Society.RI,2005.G.⑦W.Werner.Random p lanar curves and Schramm-Loewner evolutions，Lectures on probability theory and statistice.,Lecture Notes in Math,1840,pp.107-195,Springer,Berlin,arXiv:math.PR/0303354.⑧I.A.Gruzberg and L.P.Kadanoff.The Loewner equation:maps and shapes，J.Statist.Phys,2004,114:1183-1198.。当0≤k≤4，曲线是简单的，仅在原点与R相交。当k≥8，曲线是充满上半平面H的，因而r[0,∞）∩R=R。[9]中讨论了上半平面H中一条通弦SLEk路径与圆心在实轴上的一个半圆的相交概率，在本文中推导出了上半平面H通弦SLEk路径与圆周相交的概率，证明了如果01，集合A={x+iy:r≤x≤2r,0≤y≤ε}。那么当k< 4时；当k=4时

1 预备知识

在这一节给出本文涉及到的一些定义、记号以及一些基本事实，更详细的请参见文[9][10][14]等。

其中z∈H，Ut=-Bt是B0=0的标准一维布朗运动。对z∈H，令Tz表示通弦洛纳方程的第一次爆破时刻，壳Kt={z∈H:Tz≤t}。{K1,t≥0}是H中递增紧集族，gt是从HKt到H上的一个共形变换。对所有的k>0，存在一条连续曲线γ:[0,∞）→H且γ(0)=0，使得HKt是Hγ[0,t]的无界连通分支。曲线γ的行为仅与k有关，如果那么 γ是条简单曲线且如果(i.e.，4

如果ε>0，z∈C，记B(z;ε)={ω∈C:|z-ω|<ε}表示以z为球心，ε为半径的球。如果x∈R，那么D((x, rx;ε))=B((x,rx;ε)∩H)={x+irx+ρeiθ：0<θ<2π，0<ρ<ρε}，C((x,rx;ε))=B((x,rx;ε)∩H)={x+irx+εeiθ：0<θ<2π}分别表示上半平面上以(x,rx)为中心，ε为半径的圆盘和圆周。表示存在非零，有限常数c1,c2使得此外，g(r)～h(r)表示当 r→0。

2通弦路径与上半平面圆周的相交概率

文[9]已讨论了通弦SLEk路径与半圆周相交的概率，在这一节，我们用类似的方法给出了一条通弦SLEk路径与上半平面中圆周相交的概率，不同之处在于我们分别考虑上下两个半圆周与通弦SLEk路径相交的概率。

定理1：假设x>0是一个实数，0

我们要证明定理1，首先需要以下结果：

命题1：令a(z0)∈(0,π)表示z0的辐角，ε>0，那么，当k∈(0,8)，我们有以下估计

当k≥8，对所有的ε>0，此概率等于1。

证明：这个命题的证明见[4]。

命题2：设γ表示当k≤4时的一条通弦SLEk路径，z=reiθ为H中的一点。如果令f(z)=P{z在γ[0，∞）右侧}，那么由仅依赖于θ的尺度性，f(θ)=特别地，当时，P{z在 γ[0，∞）右侧

证明：这个命题的证明见[11][12]。

在命题2的基础上可得到下列引理：

引理1：令z=ρeiθ∈H，f(z)=P{z在γ[0，∞）左侧}，

图1 圆被以{z±n，n=0,1,…}为圆心的圆盘所覆盖

图2 点z=x+i3rx在γ[0，∞）左边2

定理3：令00，如果γ：[0，∞）→H是从0到∞的一条通弦SLEk路径，且那么存在一个常数 ca使得

证明：由图2可清楚看出P{γ[0，∞）∩ C((x,rx）;左边}，因为 arg(x+i并且因为2sin t≥t对由引理1可得

对0≤t≤1，8arctant≥πt，上式就暗示了存在一个常数ca，即

对0≤t≤1，8arctant≥πt，上式就暗示了存在一个常数ca，即使得P{γ

图3 点左边

图4 γ[0，∞）与线段AB相交

定理4：令00，如果γ：[0，∞）→H是从0到∞的通弦SLEk路径，4

证明：很显然，如果 γ[0，∞）与线段 AB相交，那么它一定与圆周相交，如图 4，由

推论1：令x>0是个固定实数，并且假设0< ε≤x，如果γ：[0，∞）→H是从0到∞的通弦SLEk路径，且那么 P{γ[0，∞）∩ C((x,ε）;其中是上半平面中以(x,ε)为圆心为半径的圆周。

由[6]中定理6.1可得下述命题：

命题3：如果γ：[0，∞）→H是从0到∞的通弦SLEk路径，且A是H的一个有界子集，使得HA是单连通的，A=H∩A,0A,那么P{γ[0，∞）∩ A=其中ΦA:HA→H是HA到H上的唯一共形变换，且ΦA(0)=0,ΦA(z)～z，当z→∞。

3通弦路径与矩形的相交概率

在这一节，我们将给出上半平面中一条通弦SLEk(k≤4)路径与一个矩形相交的概率估计。

引理2：令k∈（0,4]，且γ是通弦SLEk路径，固定r>1，假设h:[r,∞)→(0,∞)是连续且满足下列条件

证明：这个引理的证明见[10]。

在此引理的基础上可得下列定理：

定理5：令k∈（0,4]，且γ是一条通弦SLEk路径，固定r>1，h:[r,∞)→(0,∞)是连续且满足下列条件：

证明：令ρ:[r,∞)→(0,∞)是一个函数使得

令x>0且tx：=sup{t≥0:x埸Kt}，那么我们知道tx=∞，如果k≤4；tx<∞，如果k>4。对t∈(0,tx),定义M由（4）可知Z0<∞。因为对每个x>0都是上鞅，从而Zt是一个上鞅。因为（2）中的积分是有限的，可知存在一个有限的使得固定 R>R0，令 A:={x+iy:x≥R,y≤h(x)}，令 TA:＝inf {t≥0:γt∈A}，且在事件TA<∞上令x0:=Reγ(TA),y0= Imγ(TA)。从我们对R的选择，有由[10]中的引理2.2，对每个x>x0+y0。因而在事件因为Zt是上鞅，由随机抽样定理可得Z0≥E

定义X:={x≥r:x∈塬h(x)}，令X)dx，那么由（6）式和[10]的命题2.3，有E(Qa)=1，即从而

由定理2，我们得到：

推论2：令k∈(0,4]，且γ是一条通弦SLEk路径，固定记A={x+iy:r≤x≤2r,0≤

εy≤ε}。那么当k>4时；当k=4时

Intersection probabilities for a chordal SLE path and circle and a rectangle in the upper half plane

L IAGN Jing

On the basis of the probability that a chordal SLEkpath in the upper half plane Hintersects a sem icircle on the real line,we derived the probability that a chordal SLEkpath in the upper half plane intersects a circle in the upper half plane H.And we concluded the probability that a chordal SLEkpath in the upper half plane intersects a rectangle in the upper half p lane H.

SLE;intersection probability;swallowing time;restriction property

O177.1，O152.21

A

1009-9530（2013）04-0094-05

2012-09-28

淮南师范学院科学研究项目（2011LK78）

梁静（1981-），女，淮南师范学院助教，硕士，主要研究方向：随机洛纳发展。