选择题简解的特色运算

张世林 覃德才

一、借用选项——验算

例1 设[fx和gx]都是定义在实数集[R]上的函数，且方程[x-fgx=0]有实数解，则[gfx]不可能是（ ）

A.[x2+x-15] B.[x2+x+15]

C.[x2-15] D.[x2+15]

解析 直接来解困难重重，但结合选项验算就较为容易. [∵x-fgx=0]有实数解，不妨设[x0∈R]是它的解，则有[fgx0=x0]. 两边用[gx]作用，可得[gfgx0=gx0]，这说明[gx0]是方程[gfx]=[x]的实数解. 纵观四个选项给出的函数，不难验证只有B项无实数解.

答案 B

二、数形结合——巧算

例2 若[x1]满足[2x+2x=5]，[x2]满足[2x+][2log2x-1=5]，则[x1+x2=]（ ）

A. [52] B. [3] C. [72] D. [4]

解析 两方程可变形为：[2x-1=52-x]，[log2x-1][=52-x]，即直线[y=-x+52]与[y=2x-1]和[y=][log2x-1]相交于[A，B]两点，它们的横坐标分别为[x1]，[x2]，注意[y=2x-1]与[y=log2x-1]不是互为反函数，但它们的 图象关于直线[y=x-1]对称. 又直线[y=x-1]和直线[y=52-x]互相垂直，设垂足为[H]（如图），故[A，B]两点关于直线[y=x-1]对称，联立[y=x-1]和[y=52-x]可得[xH=74]，从而[x1+x2=][72].

答案 C

三、巧用定义——活算

例3 已知圆的方程为[x2+y2=4]，若抛物线过点[A-1，0，B1，0]且以圆的切线为准线，则抛物线焦点[F]的轨迹方程为（ ）

A. [x23+y24=1y≠0] B. [x24+y23=1y≠0]

C. [x23+y24=1x≠0] D. [x24+y23=1x≠0]

解析 如图，分别过[A]，[B]两点作准线的垂线，垂足分别为[C，D]，由抛物线的定义得，[AF+BF=][AC+BD=4>AB，]故抛物线焦点[F]的轨迹是以[A]，[B]为焦点的椭圆（除去长轴的两顶点）.

答案 B

四、整体着手——简算

例4 设[22+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2n-1x2n-1][+a2nx2n，]则[limn→∞[（a0+a2+a4+…+a2n）2-][（a1+a3+][a5+...+a2n-1）2]=]（ ）

[A. -1] [B. 0] [C. 1] D.[ 22]

解析 整体处理，平方差分解，再令[x=1]得， [（22+1）2n=a0+a1+a2+…+a2n]，令[x=-1]得，[（22-1）2n=a0-a1+a2-…+a2n]，代入极限式即可.

答案 B

五、特殊处理——妙算

从题干和选项出发，将问题特殊化，构造特殊值、特殊函数、特殊位置、特殊图形，利用“问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真”这一原理，达到肯定一项或否定三项的目的.

例5 已知[y=fx]是定义域为[R]的单调函数，且[x1≠x2]，[λ≠1]，[α=x1+λx21+λ]，[β=x2+λx11+λ]，若[fx1-fx2

A.[λ<0] B.[λ=0]

C.[0<λ<1] D.[λ>1]

解析 可将函数特殊化：设[fx=x]，代入已知不等式立得正确选项A，事实上本题也可以数形结合，利用有向线段的定比分点来处理，同样也无需繁杂的化简变形.

六、构造模型——不算

例6 两个实数集[A=a1，a2，…，a50]，[B=b1，b2，…，b25]，若从[A]到[B]的映射[f]使得[B]中每个元素都有原象，且[fa1fa2…fa50]，则这样的映射个数共有（ ）

A. [A2450] B. [C2449]

C. [C2550] D. [A2549]

解析 本题不仅要求将[A]中的元素分成[25]组，而且还要满足[fa1fa2…fa50]，可以构造模型：有一列从左到右编号依次为[a1，a2，…，a50]的[50]个小球，在它们之间的[49]个空隙插入[24]个挡板，于是就将这[50]个小球分成了[25]组，然后最左边的一组小球对应[B]中的最大元素，从左到右各组所对应的象依次减小，故这样的映射共有[C2449]个.

答案 B

七、大胆取舍——估算

例7 如图，在多面体[ABCDFE]中，面[ABCD]是边长为3的正方形，[EF∥AB]，[EF=32]，[EF]与面[ABCD]的距离为[2]，则该多面体的体积为 （ ）

A. [92] B. 5 C. 6 D. [152]

解析 依题意有，[VE-ABCD=13SABCD?h=6]，而[VABCDEF>VE-ABCD]=6.

答案 D

八、挖掘隐含——少算

例8 已知两圆[⊙O1：x2+y2=16]，[⊙O2：x-12][+y+22=9]，两圆公共弦交直线[O1O2]于[M]点，则[O1]分有向线段[MO2]所成的比[λ]等于（ ）

A.[-65] B. [65] C.[-56] D. [56]

解析 我们可以轻松求出两圆公共弦的方程是：[x-2y-6=0]，显然点[O1，O2]都在公共弦的上方，并且点[O1]在[MO2]的延长线上，故点[O1]是[MO2]的外分点，根据有向线段的定比分点的意义立即选A.

答案 A

九、临界位置——免算

例9 正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为[α]，侧面与底面所成的二面角的平面角为[β]，则[2cosα+cos2β]的值是（ ）

A. 1 B. 2 C. -1 D. [32]

解析 当正四棱锥的高无限增大时，[α→90°，][ β→90°]，则有：[2cosα+cos2β→2cos90?+cos180?][=-1.]

答案 C

十、特征分析——胜算

例10 已知[sinθ=m-3m+5，cosθ=4-2mm+5][（π2<][θ<π）]，则[tanθ2]等于（ ）

A. [m-39-m] B. [m-39-m] C. [13] D. [5]

解析 受[sin2θ+cos2θ=1]的制约，故[m]为一定值. 于是[sinθ，cosθ]的值应与[m]无关，进而推知[tanθ2]的值与[m]无关，又[π2<θ<π]，[π4<θ2<π2]，∴[tanθ2>1].

答案 D