例析导数的误区

余锦银

误区一 在已知函数[f（x）]是增（减）函数，求参数的取值范围时，忽略等号存在的情况

例1 已知函数[f（x）=x33-（4m-1）x2+（15m2-][2m-7）x+2]在实数集R上是增函数，求实数[m]的取值范围.

错解 [f（x）=x2-2（4m-1）x+15m2-2m-7，]依题意，[f（x）]在R上恒大于0，所以[Δ=m2-6m][+8<0]，得[2

分析 当[f（x）>0]时，[f（x）]是增函数，但反之并不尽然.如[f（x）=x3]是增函数，[f（x）=3x2]并不恒大于0（[x=0]时，[f（x）=0]）.

解 本题应该有[f（x）]在R上恒大于或等于0，所以[Δ=m2-6m+80]，得2≤[m]≤4 .

点拨 一般地，可导函数[f（x）]在[（a，b）]上是单调递增（递减）函数的充要条件是：[?x∈a，b]，都有[f（x）0（f（x）0）]，且[f（x）]在[a，b]的任何子区间内都不恒等于零.因此，在已知函数[f（x）]是增（减）函数，求参数的取值范围时，应令[f（x）0（f（x）0）]恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使[f（x）=0]恒成立，若能恒成立，则参数应舍去；若[f（x）=0]不恒成立，则由[f（x）0（f（x）0）]恒成立确定解出的参数.

误区二 误认为导数为零的点（即：驻点）一定是极值点

例2 已知函数[f（x）=x44+b3x3-（2+a）2x2][+2ax]在点[x=1]处取极值，且函数[g（x）=x44+] [b3x3-（a-1）2x2-ax]在区间[（a-6，2a-3）]上是减函数，求[a]的范围.

错解 [f（x）=x3+bx2-（2+a）x+2a]，

由[f（1）=0]得[b=1-a]，

[∴g（x）=x3+bx2-（a-1）x-a=（x-a）（x2+x+1）.]

当[x

∴[（a-6，2a-3）][?][（-∞，a）]，

∴[a-6<2a-3a]，故[-3

分析 满足[f（x0）=0]的点[x=x0]称为驻点. 以上解法忽略了一个细节：解题过程只用到[f（1）=0]，即[x=1]是[f（x）]的驻点，那么它究竟是不是极值点呢？当[b=1-a]时，[f（x）=x3+（1-a）x2-（2+a）x+2a=][（x-1）（x+2）（x-a）]，如果[a=1]，那么[x=1]就只是拐点而非极值点.

解 [a]的准确范围应为-3<[a]≤3且[a≠1].

误区三 误认为极值只能在导数为零的点取得

例3 求函数[fx=x2-x-6]的极值.

错解 由于[fx=x2-x-6 ，x-2或x3，-x2+x+6 ，-2

于是[fx=2x-1 ，x<-2或x>3，-2x+1 ，-2

令[fx=0]，得[x=12.]

当[-20]；当[12

所以当[x=12]时，函数有极大值[254].

分析 在确定极值时，只讨论满足[fx=0]的点[x0]附近导数的符号变化情况是不全面的，在导数不存在的点处也可能存在极值.在上述解法中，显然忽视了讨论[x=-2]和[x=3]处左右两侧导数的符号变化情况，从而产生了丢根现象.

解 正确的结果还应包括在[x=-2]和[x=3]处，函数取到极小值0.

误区四 求曲线的切线方程时，习惯性地把题中所给的已知点当作切点

例4 已知曲线[C]的方程：[y=f（x）=3x-x3]，求曲线上过点[A（2，-2）]的切线方程.

错解 因为[y=3-3x2]， 所以[f（2）=-9]，切点为[A（2，-2）]，此时切线方程为[9x+y-16=0.]

分析 求高次函数[y=f（x）]在其上某点处的切线方程是导数的重要应用之一，但有时忽视对切点的位置进行具体分析，常常容易导致误解.若题中条件为求在点[x0，y0]处，或是在[x=x0]处的切线方程时候，已知点即为切点.若题中的条件为求过点[x0，y0]的切线方程，则应注意此点不一定是切点. 本题中虽然点[A（2，-2）]在切线上，但未必是切点，故应设出切点坐标，根据切点在曲线上，已知点在切线上，切点处的导数等于切线斜率这三个条件列出方程，求出切点坐标.

解 设切点坐标为[Px0，y0]，则在[P]点处的切线方程为[y-y0=（3-3x02）（2-x0）].整理得，[x03-3x02+4=0]，即[（x0+1）（x0-2）2=0]，所以[x0=-1或x0=2].

当[x0=-1]时，切点为[-1，-2]，此时 切线方程为[y=-2].

当[x0=2]时，切点为[A（2，-2）]，此时切线方程为[9x+y-16=0].

所以过点[A（2，-2）]的切线方程为[y=-2]或[9x+y-16=0].

误区五 误用求导法则

例5 [y=lnx]的导数是 .

错解 [y=1x].

分析 应分类求导.

解 （1）当[x>0]时，[y=1x.]

（2）当[x<0]时，[y=ln-x=1x].故[y=1x.]

误区六 忽视导函数与原函数图象关系致错

例6 设[f（x）]是函数[f（x）]的导函数，[y=][f（x）]的图象如图所示，则[y=f（x）]的图象最有可能是（ ）

[A B

C D]

错解 许多同学由于对导函数与原函数的图象的对应关系理解不到位而凭空乱猜.

分析 只要抓住导函数的零点就是原函数图象的极值点以及导函数与单调性的相互关系，就可以迅速解题.

解 由导函数的图象知，导函数在[x=0]和2时的导函数值为0，故原来的函数[y=f（x）]在[x=0]和2时取得极值.当[x0或x2]时，导函数值为正（或0），当[0