利用几何画板分析平面几何中的折叠问题

李凤娟

摘 要：图形折叠问题的解决在平面几何研究中独具一格，它深入浅出，涵盖了图形变换、数形结合等重要的思想与方法.就图形折叠所具备的对称性展开，对其所涉及的知识要点和研究方法进行了逐一剖析与探讨.学生要经历由数到形的突变，往往会感到不适应，利用几何画板可以帮助学生有更直观的感受，进而帮助解题.以2005年广东高考最后一题为例，以两种解法利用几何画板分析折痕在不同位置所形成的函数的分段讨论，使学生的思路更为清晰，其中第二种方法以直线l在y轴上的截距b为参数进行讨论，几何意义更明确.此外还可以直接利用几何画板中的“度量”工具度量折痕的长度，使学生先对长度的最值有一个直观的认识以后，再寻找严谨的代数解法，从而降低了试题的难度，更益于学生的理解和接受.

关键词：几何画板；折叠问题；平面幾何

折叠问题是解析几何中常见的问题之一，利用几何画板可以对折叠所形成的对称关系进行分析与探索.

类型一：已知点A与直线l，若以l为折痕，求折叠后A的位置A′，利用直线l与线段AA′的垂直平分关系可得如下作法：

1.过点A作直线l的垂线，交l与点C.

2.以C点为圆心，AC长为半径作圆，

交垂线于一点A′，则A′即为所要求的点A折后的位置.

其中第二步也可由标记点C为中心，对点A进行旋转完成.

运动点A或直线l皆可观察点A′的位置变化.

类型二：已知点A关于直线l折叠后所对应的点为A′，此时确定折痕所在直线l的位置只需作线段AA′的垂直平分线即可。（图略）

下面以2005年广东高考最后一题说明这个问题，题目如下：

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DC上.

（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；

（Ⅱ）求折痕的长的最大值.

利用几何画板可以帮助学生更好地理解此题的不同解法.

解法一：设折叠后A点落在线段CD上的点为G（a，1），则该问题转化为如何由点A、G寻找折痕l的位置。

解题关键应为A、G关于l对称，具体如下：

第一步：构造线段DC上的G，并做线段AG的垂直平分线l，则l即为折痕所在的直线.

第二步：做关于G点的动画，观察折痕的位置.

易得到以下结论：

（1）由图1、图2、图3可知，折痕的长度会因l的位置不同而有三种不同的求法.

（2）当l过点D、B为分界点（图略）.

（3）当点G与D点重合时如图4.

（4）当点G与C点重合时，折痕为对角线BD（图略）.

解法如下：

解（I）（1）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y= .

（2）当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G（a，1）.

所以，A与G关于折痕所在的直线对称.

有kOG·k=-1， k=-1？圯a=-k

故G点坐标为G（-k，1）

从而折痕所在的直线l与OG的交点坐标（线段OG的中点）为- ，

折痕所在的直线方程y- =k（x+ ），即y=kx+ + .

由（1）（2）得折痕所在的直线l方程为：y=kx+ + .

解（II）若折痕所在的直线过点D（0，1）则k=-1；若折痕所在的直线过点B（2，0）则k=-2+ ；若点G与点D（0，1）重合，则k=0；若点G与C点重合，则k=-2.

（1）当-2+ ≤k≤0时（如图3），直线l交BC于N（2，2k+ + ）.

y=MN2=22+ -（2k+ + ）2=4+4k2≤4+4（7-4 ）=32-16 .

（2）当-1≤k≤-2+ 时（如图2），

y=MN2=（ ）2+（- ）2=

y′=

令y′=0，解得k=- ，此时y=MN2= .

（3）当-2≤k≤-1时（如图1），直线交DC于M（ - ，1）.

y=MN2=12+ -（2k+ + ）2=1+ ≤1+1=2.

所以，折痕的长度的最大值为：MNmax= =2（

- ）.

解法二：若设折痕所在直线l的方程为y=kx+b，则l与y轴的交点为P（0，b），该题解题关键转化为利用AP=PG确定G点与折痕位置的问题.具体解法如下：

第三步：运动点P，可以得到三类不同的折痕图形，以l过点D、B为分界点（图略）.

解题过程如下：

I（1）由题知当b=0.5时，k=0，折痕所在的直线方程为y=0.5.

（2）当0.5

因为G为⊙P与DC的交点，易得G（ ，1）.

由A与G关于折痕所在的直线对称，

有kOG·k=-1，得k=- .

所以折痕所在的直线方程y=kx+b，即y=kx+ + .

由（1）（2）得折痕所在的直线l方程为：

y=kx+ + .

II.k≠0时直线l在x轴上截距为- ，

当直线l过点B时0=2k+b，解得b=4-2 .

当直线l过点D时b=0.

（1）0.5≤b≤4-2 时（如图3（3））.

直线l交BC于点N（2，2k+b）；

PN2=22+[b-（k+b）]2=8b≤8（4-2 ）；

（2）4-2

直线l交AB于点N（- ，0）；

y=PN2=b2+（- ）2= ；

y′= ，若y′=0则b= ；

此时y=PN2= .

（3）当1≤b≤2.5时（如图3（2））；

直线l交AB于点N（- ，0）；

直线l交DC于点M（ ，1）；

NM2=（- - ）2+1=- +1≤2；

所以折痕的长度的最大值为：

PNmax= =2（ - ）

这两种解法利用几何画板分析折痕在不同位置所形成的函数的分段讨论，使学生的思路更为清晰，其中第二种方法以直线l在y轴上的截距b为参数进行讨论，几何意义更明确.此外还可以直接利用几何画板中的“度量”工具度量折痕的长度，使学生先对长度的最值有一个直观的认识后，再寻找严谨的代数解法，从而降低了试题的难度，更益于学生的理解和接受.

我们还可以组织学生开展一次探讨活动：利用前面所学知识，根据需要，选择不同的图形，结合不同的折叠方式，通过改变图形在直角坐标系中的位置，进行编题解答、演算推导.通过集思广益，发现问题并解决问题，从中体会自主学习的乐趣，提高自主学习的能力.

总而言之，折叠问题的解决，必须基于对折叠方法、折叠图形的特性的了解.我们在折叠时主要是按照“点重合”或“线重合”的要求来进行操作，通过变换重合的方式或折叠的角度来改变折叠的效果；折叠后最基本的特性是“全等”和“垂直”；折叠中最常添设的辅助线是“对称点的连线”.

另一方面，折叠的对象又不只局限于矩形、圆、正多边形等简单、规则的图形；折叠的次数也不仅限于一次，可以是多次的.它在变化中存在许多不定因素，但在解答时常伴随有三角形、四边形及全等形、相似形等基础知识.它需要我们灵活运用数形结合、方程、化归等数学思想方法……所有这些，我们在研究过程中都应予以充分考虑.图形的折叠问题将为我们留下无限的遐想、发展空间.

参考文献：

汤莹琪.运用《几何画板》研究三角形的重心.数学教学.华东师范大学，2004（7）.

（作者單位 浙江省温州中学）