弹簧问题

郭子辉

摘 要：弹簧问题是高中物理的难点之一，它涉及轻弹簧的特点、物体的受力分析、加速度问题、临界条件寻找和弹簧弹性势能问题。轻弹簧两端所受的弹力一定等大反向。在弹簧两端都保持与其他物体接触的条件下，弹力的大小不会突变。与连接体问题相结合，物体分离时满足物体间无相互作用力且两个物体的速度、加速度相等。弹簧弹力做功或弹性势能改变时，一般从能量的转化与守恒的角度来求解。

关键词：轻弹簧；临界条件；弹性势能

弹簧问题是高中物理的难点之一，它涉及轻弹簧的特点、物体的受力分析、加速度问题、临界条件寻找和弹簧弹性势能问题。下面作一些简要分析。

一、弹簧弹力大小问题

弹簧弹力的大小可根据胡克定律计算（在弹性限度内），即F=kx，其中x是弹簧的形变量（与原长相比的伸长量或缩短量，不是弹簧的实际长度）。

高中研究的弹簧都是轻弹簧（不计弹簧自身的质量，也不会有动能的）。不论弹簧处于何种运动状态（静止、匀速或变速），轻弹簧两端所受的弹力一定等大反向。证明如下：以轻弹簧为对象，设两端受到的弹力分别为F1、F2，根据牛顿第二定律，F1+F2=ma，由于m=0，因此F1+F2=0，即F1、F2一定等大反向。弹簧受力大小指弹簧一端受力大小。弹簧秤读数等于弹簧秤挂钩处弹力的大小。

弹簧的弹力属于接触力，弹簧两端必须都与其他物体接触才可能有弹力。如果弹簧的一端和其他物体脱离接触，或处于拉伸状态的弹簧突然被剪断，那么弹簧两端的弹力都将立即变为零。

在弹簧两端都保持与其他物体接触的条件下，弹簧弹力的大小F=kx与形变量x成正比。由于形变量的改变需要一定时间，因此这种情况下，弹力的大小不会突变。（这一点与绳不同，高中物理

研究中，是不考虑绳的形变的，因此，绳两端所受弹力是可以突

变的）

例1.如图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情况各不相同：

①中弹簧的左端固定在墙上，②中弹簧的左端受大小也为F的拉力作用，③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动，④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑動。若认为弹簧的质量都为零，以l1、l2、l3、l4依次表示四个弹簧的伸长量，则有（ ）

A.l2>l1 B.l4>l3 C.l1>l3 D.l2=l4

分析：根据轻弹簧两端所受的弹力一定等大反向，弹簧受力大小指弹簧一端受力大小可知四个弹簧弹力的大小，由胡克定律可知，四个弹簧伸长量相同，故D正确。答案：D

在包含弹簧的平衡问题或牛顿定律的问题中，弹簧弹力大小可根据胡克定律来求解，或根据平衡条件和牛顿定律求解。

二、连接体中的物体分离问题

连接体问题主要涉及受力分析以及整体法与隔离法的应用。与弹簧问题相结合，寻找物体分离时力学和运动学临界条件是其中的关键。

物体分离时满足力学临界条件是物体间刚好接触且无相互作用力；运动学临界条件是两个物体的速度相等；两个物体的加速度相等。这两个方面同时满足。

例2.一根劲度系数为k，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一个质量为m的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度。如图所示。现让木板由静止开始以加速度a（a

分析：木板与物体分离时，木板与物体间弹力为零。物体下降的位移就是弹簧的形变长度。以物体为研究对象，由匀变速直线运动公式及牛顿定律得：

G-kx-N=ma①

N=0②

x=at2③

解以上三式得：t=。

三、弹簧弹性势能问题

弹簧弹力做功等于弹簧弹性势能的减少量。

弹簧的弹力做功是变力做功，求解一般可以用以下四种方法：1.因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算；2.利用F-x图线所包围的面积大小求解；3.用微元法计算每一小段位移做功，再累加求和；4.根据动能定理或能量转化和守恒定律求解。

由于弹性势能仅与弹性形变量有关，弹性势能的公式高考中不作定量要求，因此，在求弹力做功或弹性势能的改变时，一般从能量的转化与守恒的角度来求解。特别是涉及两个物理过程中的弹簧形变量相等时，往往弹性势能的改变可以抵消，或替代求解。

例3.如图所示，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态。A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为（m1+m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。

分析：开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有kx1=m1g ①

挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，

设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有kx2=m2g ②

弹簧的总形变量即物体A上升的距离为h=x1+x2 ③

第二次释放D与第一次释放C相比较，弹簧弹性势能的增量与前一次相同，设此时A、D速度为v，根据能量守恒，可得

m1gh=（2m1+m3）v2④

由①②③④得v=g

（作者单位 河南省沁阳市第一中学）