旋转变换的应用

尹祥

摘 要：在关于图形旋转的教学中，找准对应点、对应边及对应角，可使很多难题迎刃而解。

关键词：旋转；对应；本质

一、紧扣对应元素，确定旋转角

图形在旋转过程中，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角，并且对应线段相等。因此，在观察旋转变换图形时，关键是要找出对应元素（对应点、对应边及对应角），确定旋转角，这样，我们就掌握了图形旋转的本质，从而可以利用旋转的性质求出某些线段的长度及角的度数.

例1：如图，将正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转与△CBP′重合.若BP=4，求PP′的长.

分析：图中的BP与BP′是对应边，旋转角有

∠ABC与∠PBP′，由此可知△PBP′是等腰直角三角形，从而可根据勾股定理求出PP′的长.

解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°.

∵△CBP′是由△ABP绕点B旋转得到的，

∴PB=P′B，∠PBP′=∠ABC=90°.

∴PP′===4.

例2：如图，点O是等边三角形ABC内一点，

∠AOB=100°，∠BOC=140°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，求∠AOD的度数.

分析：图中的CO与CD是对应边，旋转角有∠ACB与∠OCD，由此可知△COD是等边三角形，从而可知∠COD为60°，然后可求出∠AOD的度数.

解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°.

∵△ADC是由△BOC绕点C旋转得到的，

∴CO=CD，∠OCD=∠ACB=60°，

∴△COD是等边三角形，∴∠COD=60°.

∵∠AOB=100°，∠BOC=140°，

∴∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=120°，

∴∠AOD=∠AOC-∠COD=60°.

二、利用旋转求面积

例1：如图，图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以与自身重合.若每个叶片的面积为4 cm2，∠AOB=120°，求图中阴影部分的面积.

分析：图中两个分散的阴影是无法直接求面积的，只需将其中一个阴影部分绕点O顺时针方向旋转120°，两个阴影即可拼成一个完整的叶片，故其面积为4 cm2.

例2：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D按逆时针方向旋转90°至DM，连接AM，则△ADM的面积是（ ）

分析：如图，过D作BC的垂线，垂足为E，延长AD至F，使DF=DE.

∵DF=DE，∠EDF=90°，DC=DM，∠CDM=90°，

∴△DFM可视为△DEC绕点D逆时针旋转90°得到的，

∴MF=CE=BC-AD=2，∠DFM=∠DEC=90°.

∴S△ADM=AD·FM=3×2=3.

三、巧借旋转构造三角形

例：如图，点P为等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5.求∠APB的度数.

分析：PA，PB，PC不在同一个三角形内，且与∠APB无直接关系，因此，我们应设法将这三条线段置于同一个三角形内，从而找到它们与∠APB的关系.

解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转60°，得△CBQ，连接PQ.

由旋转的性质可知

PA=QC，BP=BQ，∠BQC=∠APB，∠PBQ=60°.

∴△PBQ是等边三角形，∴PQ=PB，∠PQB=60°.

在△PQC中，PQ=4，CQ=3，PC=5，因而有

PC2=PQ2+CQ2，∴∠PQC=90°，

∴∠BQC=150°=∠APB.

（作者单位 内蒙古自治区呼和浩特市第四中学）