随机算子存在随机不动点的充分条件

赵金辉

（曲阜师范大学 图书馆，山东 曲阜 273165）

随机算子存在随机不动点的充分条件

赵金辉

（曲阜师范大学 图书馆，山东 曲阜 273165）

本文利用随机拓扑度理论研究随机凝聚算子，在某些边界条件下得到随机凝聚算子的随机不动点存在性.作为特例，得到确定性凝聚算子的不动点，减弱了已知文献中相关定理的条件.

随机凝聚算子；随机拓扑度；随机不动点

1 引言与主要结果

随机不动点问题是随机泛函分析的重要研究方向，而随机拓扑度是研究随机不动点问题的基本方法.关于随机不动点的存在性近期有很多研究，见[1-5]及其参考文献.因为随机凝聚算子包含了随机全连续算子为其特殊情形，所以本文仅对于随机凝聚算子给出存在随机不动点的充分条件.作为特例，得到相应边界条件下的确定性算子不动点定理，这个特例是已知文献结果的改进.

定理1.1 关于确定性凝聚算子的推论2.1减弱了[6]中主要定理的条件.已知文献中有关边界值条件下算子不动点问题，多数都是假定其范数的指数α≥1或者α＞1，文献[2]中定理4、定理5是边界条件中范数指数α∈(0,1)的情况，本文定理1.2中假定α∈(0,1)本文内容丰富了随机算子不动点的内容.

假定 (Ω,Σ,μ)为完全的概率测度空间，(E,||·||)为可分Banach空间(即Polish空间)，(E,B)为可测空间，其中B为E的一切Borel子集的σ-代数.称映象x∶Ω→E为E-值随机变量，若对任意S∈B，集合{ω∈Ω|x(ω)∈S}∈Σ.算子A∶Ω× E→E称为随机算子，若对任意的x∈E,A(ω,x)为E-值随机变量.

定义1.1 设A∶Ω×E→E是随机凝聚算子，f=I-A，对几乎所有的ω∈Ω,p∈Ef(ω,∂D)满足τ(ω)=d(p,f(ω,∂D))=infx∈∂D||f (ω,x)-p||＞0,则对于几乎所有的ω∈Ω，degLS(f(ω,·),D,p)有意义，用下列概整值函数定义随机凝聚算子的随机拓扑度：

DegR(f(ω,x),D,p)=degLS(f(ω,x))|Ω0,a,s,on,Ω.

其中Ω0={ω|A(ω,·)是凝聚算子,p∈Ef(ω,∂D)},μ(Ω0)=1,f (ω,x)|Ω0表示f(ω,x)在Ω0上的限制.

随机拓扑度DegR(f(ω,x),D,p)具有L--S拓扑度的基本性质，如正规性、同伦不变性、可解性、边界值性质等.参见文献[7,8].

下述两个定理是本文的主要结果.

2 定理1.1的证明与推论

不妨设A(ω,x)在∂D上没有不动点，否则结论已成立.我们令

下面证明

由θ∈D知道

由A(ω,x)在∂D上没有不动点知道

假若存在t0∈(0,1),x0∈∂D使得ht0(ω0,x0)=θ，可以写成为，将此式代入(1.1)式得到

这等价于

下面我们证明(2.5)式是不可能的.我们令

考察函数

由于

f(u)在[1,+∞)上为单调递增函数.又由(2.6)与(2.7)知道f (1)=2α-α-1＞0,故当u≥1时，f(u)≥f(1)＞0，于是有不等式

由于t0∈(0,1)于是(2.5)式与(2.8)式矛盾,此矛盾说明(2.5)是不可能的.由此知道

综合(2.3)(2.4)(2.9)知道(2.2)成立.从而由(2.1)与随机拓扑度的同伦不变性、正规性知道

当定理1.1中的算子A为确定性算子时，相应的结论仍成立，即为下述的推论.

推论2.1 设D⊂E是有界开集，θ∈D，A∶Ω×D→E是凝聚算子，且满足下式：

注1 条件(2.10)减弱了[6]中定理1的条件b)，于是推论2.1减弱了[6]中主要定理的条件.

3 定理2.1的证明与推论

不妨设A(ω,x)在∂D上没有不动点，否则结论已成立.我们令

下面证明

类似于定理1.1的证明得到

假若存在t0∈(0,1),x0∈∂D使得ht0(ω0,x0)=θ，可以写成为，将此式代入(1.2)式得到

这等价于

下面我们证明(3.4)式是不可能的.我们令

综合(3.3)(3.5)知道(3.2)成立.容易验证同伦不变性的其它条件满足，从而由(3.1)及同伦不变性、正规性知道

于是由可解性知道A(ω,x)在D内必有随机不动点.

当α=1时，由定理1.2我们得到下述便于使用的推论.

推论3.2 设D⊂E是有界开集，θ∈D，A∶Ω×D→E是随机凝聚算子，且满足下式

注2 推论3.2是著名的Rethe不动点定理的随机形式.

〔1〕王梓坤.随机泛函分析引论.数学进展，1962（5）：45-47.

〔2〕李国桢，许绍元.关于随机非线性算子的若干定理，数学进展，2006，35(6)：721-729.

〔3〕李兴昌，赵增勤.一类随机减算子随机不动点存在唯一性定理及应用.数学物理学报，2012，32A(2)：373-378.

〔4〕朱传喜.随机算子的若干新结果.应用数学，2002，15(4)：34-37.

〔5〕张国娟，刘颖范.全连续随机算子的边界不动点定理，应用数学，2012，25(4)：760-763.

〔6〕张国娟，刘颖范，施庆生.非自包含不动点定理及其在投入产出方程中的应用.应用数学学报，2010，33(3)：509-513.

〔7〕Li Guozhen,Chen Yuching,On random topological degree and some random fixed point theorems,数学物理学报，1993，13(4)：391-398.

〔8〕卢同善.随机泛函分析及其应用.青岛海洋大学出版社，1990.

O177.91

A

1673-260X（2013）11-0001-02

山东省自然科学基金资助项目(ZR 2012AQ 024,ZR 2012AM 006)