美式看跌期权的模糊二叉树模型

贾东芳

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

1 引言

在市场含有不确定因素的环境下，影响期权价格的变量不仅具有随机性的特点，而且还具有模糊性质，因此将模糊理论应用于期权定价是对传统定价方法的一个有益补充。2003年，日本学者 Yoshida[1]利用传统的定价思想，在B-S模型和等价鞅测度模型的基础上，运用对称的三角形Fuzzy数证明了欧式期权模糊价格平价公式。同年，又考虑了美式看跌期权情形，令美式期权的价格依赖于决策者的模糊目标，并给出相应的结果[2]。2007年，S. Muzzioli和H. Reynearts[3]将模糊理论引入了欧式期权二叉树模型，2008年又给出了利用梯形Fuzzy数来描述美式期权定价问题[4]。本文将在Cox-Ross-Robinstein[5]的二叉树模型下，运用三角形Fuzzy数（不限于对称的）对美式看跌期权进行定价，并给出相应的多期模糊二叉树模型。

在模糊二叉树模型中，如何获得不精确的波动率是最为关键的环节。不精确的波动率用三角形Fuzzy数来描述。三角形Fuzzy数是一个区间，其上界、下界和最可能的值都需要确定。我们知道波动率分为历史波动率和隐含波动率，其中历史波动率是指某段预先给定的时间区间上实际市场价格的标准差，而隐含波动率是在已知模型其它参数的情形下，利用欧式期权定价公式解方程而得到的。关于隐含波动率在什么情况下更接近实际波动率，许多学者进行了探讨。如Christensen和Prabhala[6]认为对于看涨期权来说，在平值状态时所求得的隐含波动率最符合实际波动率；2002年，Christensen和Strunk[7]又提出了分别对实值状态和虚值状态以及看涨和看跌期权情形计算波动率，再进行加权平均而获得的波动率更接近实际；2005年，Ederington和 Guan[8]考虑了敲定价的不同对波动率的影响，鉴于波动率微笑现象，认为隐含波动率应该在看涨期权的虚值状态和看跌期权的实值状态计算获得；2008年，Muzzioli和Reynaerts[4]在用梯形Fuzzy数模拟波动率时，其上下界分别用平值状态时的插值波动率（interpolated volatility）和一个月时期的隐含波动率来获得，最可能的值是通过计算一个欧式看跌期权，其与所要确定的美式看跌期权有相同的执行价格和相同的到期日，从而求解得到的隐含波动率。本文将采取Muzzioli和Reynaerts的方法确定波动率。

2 预备知识

定义1 A∈F( R )称为Fuzzy数，若

（1）A是正规的，即∃x0∈R，使 A ( x0)= 1；

（2）∀ α ∈ ( 0,1]，Aα是闭区间。

定义2 三角形Fuzzy数A由一个三元数组 ( a1, a2, a3)唯一决定。

若 a2- a1= a3-a2，则称A为对称的三角形Fuzzy数。

三角形Fuzzy数A可写为如下形式：

定义 3 两个 Fuzzy数 A = (a1, a2, a3)和B = (b1, b2, b3)的最大值：

3 模型

假设市场无交易费用、无税、不限制卖空、资产无限可分、市场完全，期权的有效期T被分成N期，每时期长度为T N，不存在套利机会，即对于无风险收益率r，在每一时期T N，有d ＜ 1 + r ＜ u ，其中u是股票价格的上涨因子，d是股票价格的下降因子。设K是执行价格，σ为股票收益率的波动率，pu和pd是风险中性概率，文中pu和pd被假设为不精确的。S0为股票的初始价格，Sn为n时期的股票价格， Vn( Sn)为n时期的期权价格。

由Cox-Ross-Robinstein[5]模型假设知：

且

由(1)式解得

股票价格Sn和美式期权的价格 Vn( Sn)为

用三角形Fuzzy数来推广以上模型。设 σ = (σ1, σ2, σ3)，其中σ1,σ3的求法将沿用引言中提到的Muzzioli和Reynaerts[4]的方法，σ2为梯形Fuzzy数的两个最可能值的平均值。

由波动率计算上涨和下跌因子，得

则有

若 d2≤1+r ≤ d3或u1≤ 1 + r ≤ u2将产生套利机会。

因此将(1)式改写为如下Fuzzy线性系统，

其中收益率r为常数，pu和pd为待求的Fuzzy数。

无套利条件保证了上述模糊矩阵对所有的d ∈ (d1, d2, d3)，u ∈ (u1, u2, u3)为满秩。为求解(2)，需解决如下非线性规划问题：

目标函数：

约束条件：

由定义知，上涨和下跌因子可记为：

对每个α，由

知，当umax=时，取得最大值，当umin=时，取得最小值。由

知，当umax=时，pd取得最大值，当umin=时，pd取得最小值。由

知，当dmax=时，取得最大值，当dmin=时，取得最小值。所以(2)的解为

用三元数组表示，即

将 u , d, pu, pd代入股票价格和期权价格函数，得

用倒推法可求得Fuzzy数 V0=(a, b, c)，其中a和c分别为期权价格的上限和下限，b为期权价格的最可能值。

3 结论

本文所得模糊期权价格 V0=(a, b, c)可以作为决策者比较理论价格和市场价格的一个参考，决策者也可以制定更高的置信水平α＞0，使期权理论价格的区间缩小。另外，本文虽是以标准美式看跌期权为例讨论的，但其定价方法也可推广至其他的效用函数。

[1]Yuji Yoshida. The valuation of European options in uncertain environment[J]. European Journal of Operational Research, 2003, 145: 221-229.

[2]Yuji Yoshida. A discrete-time model of American put option in an uncertain environment[J]. European Journal of Operational Research, 2003, 151: 153-166.

[3]S. Muzzioli, H. Reynaerts. The solution of fuzzy linear systems by non-linear programming: a financial application[J]. European Journal of Operational Research,2007, 177: 1218-1231.

[4]S. Muzzioli, H. Reynaerts, American option pricing with imprecise risk-neutral probabilities[J]. International Journal of Approximate Reasoning, 2008, 49: 140-147.

[5]J. C. Cox, S. A. Ross, S. Rubinstein. Option pricing, a simplified approach[J]. Journal of Financial Economics,1979, (7)229-263.

[6]B. J. Christensen, N. R. Prabhala. The relation between implied and realized volatility[J]. Journal of Financial Economics, 1998, 50: 125-150.

[7]B. J. Christensen, C. Strunk. New evidence on the implied-realized volatility relation[J]. The European Journal of Finance, 2002, 8(2): 187-205.

[8]L. Ederington, W. Guan. The information frown in option prices[J]. Journal of Banking and Finance, 2005, 29(6):1429-1457.