利用运动轨迹提升学生抽象思维能力

谢家文

轨迹是事物运动留下的痕迹，它稍纵即逝，但借助点线面把事物的运动轨迹连接起来，却可以得到可视的形体，从广义上说任何规则形体都是由点、线、面作一定运动的轨迹所形成。笔者从运动轨迹出发，以培养和提升学生的抽象思维能力为目标，提升学生对图形的认识。下面就以《圆柱的认识》教学为例谈一些尝试与思考。

一、猜测运动轨迹，让思维转向，孕伏抽象思维

片段实录一：

（以魔术话题导入，呈现长方形纸片，询问学生是否相信通过魔力可以用这张纸创造立体图形，当学生各种用动手操作的答案被教师否定，满眼充满疑惑眼神时，教师和学生出现下面的互动情形。）

师：老师把这个长方形，以宽为轴心，旋转一周，你们闭上眼睛想象一下会成什么图形？

生：（闭起眼睛想了一会儿，答案多元，但更多是圆柱。）

师：是什么图形呢？请看大屏幕（多媒体演示一个长方形绕宽旋转一周后得到一个圆柱）。

生：哦，圆柱也可以这样得来（部分学生小声说）。

生活中的圆柱常是一种静止的几何体，它外显、直观，但笔者却不是直接呈现，而是绕着关子出现。首先通过魔术话题，去吸引学生，让他们不但好奇，更重要的是集中注意力，然后适时抛出“一个长方形，以宽为轴心，旋转一周，会成什么形？”让学生去猜测和思考，这时抽象思维之门为学生打开，学生静思默想之时，也是抽象思维训练之时，随后用多媒体演示其形成过程，不但验证其猜测的正确与否，更把抽象过程用动画显现出来，也把学生脑中或零碎或不正确的想像过程或联结或纠正过来了。抽象过程可视化了，培育了抽象思维。

思考：教师的教学方式，决定着学生的思维方向，图形的认识，教师的常用教学方式是直接呈现直观实物或联系生活中的实物导入。这就把学生的思维方式引向了直观动作思维，而采用猜测运动轨迹的方式，一是需要学生想象，二是想象时还要把运动过程进行联结，抽象思维得到锻炼不言而喻。更重要的是，学生的思维方式发生了转向，在转向中，孕伏着抽象思维。这样，在接下来图形的特征认识中，学生才更有可能往这方面去思考。其实在第二学段图形的认识教学时，大多数图形都可以往这方面进行尝试，如长方体可以看成长方形平移而成，圆形可以看作一条线段绕一端点旋转而成等。总之学生的思维方式与教师给予学生的思维指向密切相关。

二、借用运动轨迹，予特征重塑，发展抽象思维

片段实录二：

（摆出许多圆柱实物，让学生充分观察、操作、比较后提问圆柱的特征，并追问学生是通过什么方式感知到这些特征，面对学生答案基本上是通过观察、操作、比较感知时，教师和学生出现下面的互动情形。）

师：如果你不用观察、触摸、比较，能用其它的方法解释圆柱的特征吗？

生：（沉默。）

师：回忆一下，刚上课时圆柱是怎么得来的？

生1：哦，我知道了，圆柱是由一个长方形绕着宽旋转而来的，长方形的长就是上下两个圆的半径，所以上下两个底面是同样的圆形。

生2：我也知道了，圆柱的侧面是由宽旋转而成的，所以圆柱的侧面是一个曲面。

生3：……

圆柱的特征，可以由学生通过观察、触摸、测量、比较等各种对实物的操作活动而得到，但笔者没有局限于此，而是用“能用其它的方法解释圆柱的特征吗？”引起学生另类的深度思考，在学生想另僻蹊径，而又无从下手之时，又抛出“回忆圆柱的由来”，学生自然而然会用运动轨迹去思考圆柱的特征，这样学生摆脱了形象思维的束缚，而是用摸不着的抽象思维去重塑圆柱的特征，这里的特征感知同通过触摸等各种活动得来的特征，完全是不在同一层次的思维之物。在圆柱特征得到重塑之时，抽象思维也得到进一步的发展。

思考：图形的特征，是只要知道怎么样，还是要知道为什么这样呢？对于第二学段的学生来说显然要达到第二层次。是通过观察比较得知还是通过图形内在的“机理”而悟，当然第二种方式更好，那是深一层的思维发现。而运用运动轨迹去探寻图形的特征就是悟内在的“机理”，这样的图形特征不再是感性的，而是理性的，不但知道是什么，更知道为什么会成这样？这样相当于重塑图形特征，重塑之时，也是学生抽象思维的发展之时。其实只要是规则图形，它的特征都可以运用它的运动轨迹去解释，如圆因为它是一条线段绕一端点旋转而成，所以它的所有半径会相等，只不过我们的教师是否意识到了？是否指引学生往这方面思考呢？

三、发展运动轨迹，促认识提高，提升抽象思维

片段实录三：

师：课始，我们知道了，圆柱可以由一个长方形以一条宽为轴心，旋转一周而得到。圆柱还可以通过其它方法而得到吗？（大家闭起眼睛想一想。）

（生闭起眼睛想了一会儿。）

生1：可以看成一个圆，不断向上或向下平移而成。

师：你真会想象，是这样吗？请看大屏幕。（多媒体演示这种情形。）

师：还有其它的方法吗？

生2：看作一个长方形，围绕长的中轴线，旋转而成。

师：是这样吗？请看大屏幕。（多媒体演示这种情形。）

师：这时长是圆柱底面的什么？

生2：直径。

师：还有吗？

生：……

师：圆柱就是这么神奇，除了可以用纸等不同的材料制作出，还可以用不同的平面形体通过平移或旋转而得来，这种过程是一种运动过程，需要我们用脑在想像中构建。

我们平时看到的圆柱，更多是实物体。可视之物，对第二学段的学生来讲理解“通过材料怎么制作得来？”并不难，如果教学仅要求他们知道用材料制造圆柱的方法，就显得有点肤浅，学生的思维得不到多大的发展。但笔者不满足于此，要求学生从抽象的角度出来，想像它的另一翻得来，它是课始圆柱通过运动由来的进一步发展，需要学生的抽象思维，在圆柱的轨迹运动得到进一步发展之时，历练了学生的抽象思维，抽象思想当然也得到了提升。

思考：当学生知道了图形是由事物的运动轨迹得来的，思维的方向不一样，思维的深度也不一样，如果能让学生从轨迹的角度去分析它的别样来源，那么学生就要去掉物体的许多非本质性东西，抽象出本质性东西，这种认识是对图形的高层次认识，同时也激活了学生的思维，这应该成为我们广大教师的一种追求，所以要求学生从发展的角度去看待运动轨迹，去找寻不同的运动轨迹，开阔他们的视野，发展他们的思维。其实生活中许多规则物体都可以看成不同物体的不同运动轨迹，如圆柱还可以看成一个圆上下平移而成，圆还可以看成一条线段绕中点旋转而成，等等。也就是说运动轨迹不是单一的，我们应该要求学生用发展的、变化的眼光去看待，以提升他们的抽象思维能力。

（责任编辑：陈志华）