半环上保持矩阵{1}-逆的线性算子

李栋梁,任苗苗,刘建华,李斌

(1.西北大学数学系,陕西西安 710127;2.陕西广播电视大学工程管理教学部,陕西西安 710068)

半环上保持矩阵{1}-逆的线性算子

李栋梁1,任苗苗1,刘建华1,李斌2

(1.西北大学数学系,陕西西安 710127;2.陕西广播电视大学工程管理教学部,陕西西安 710068)

刻画了某类特殊可换无零因子反环上保持矩阵{1}-逆的可逆线性算子,并将此结果推广到此类无零因子反环的任意直积上.推广了某些文献的一些结果.

可换无零因子反环;{1}-逆;线性算子

1 引言和预备知识

设(S,+,·,0,1)是一个(2,2,0,0)-型代数,其中+和·是二元运算.且S满足条件:

(1)(S,+,0)是一个可换含幺半群;

(2)(S,·,1)是一个含幺半群;

(3)a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c(∀a,b,c∈S);

(4)0·a=a·0=0(∀a∈S);

(5)0/=1,

则称S是半环.

设S是半环,Mn(S)是指S上n阶矩阵的全体,I是n阶单位矩阵,O是n阶零矩阵. Mn(S)上的+和·定义如下:

易证(Mn(S),+,·,O,I)是半环[1].

设A,B∈Mn(S),如果ABA=A,那么称B是A的一个{1}-逆[2].设φ是Mn(S)上的一个算子.若对任意A,B∈Mn(S),B是A的一个{1}-逆蕴涵着φ(B)是φ(A)的一个{1}-逆,则称φ保持矩阵{1}-逆.

线性保持问题(简称LPP)是近百年来矩阵论中最活跃的课题之一.它主要刻画矩阵空间上保持映射、关系、子集等不变量的线性算子.1897年,文献[3]刻画了保持行列式的线性变换.起初这类问题的研究并未引起足够的重视.直到1971年,文献[4]发表了保持矩阵秩1的线性算子的文章之后,线性保持问题越来越受关注[1-3,5-12].随着它在微分几何、图论、计算机、量子力学、控制论、经济学等方面的广泛应用,人们更加认识到研究线性保持问题的重要性.

近年来一些学者研究了域、环和半环上保持矩阵{1}-逆的线性算子.文献[5-6]讨论了保持特征为2的主理想整环上矩阵{1}-逆的线性算子.文献[13]刻画了保持特征不为2的域上矩阵{1}-逆的加法算子.文献[11]研究了保持两类特殊半环上矩阵上{1}-逆的线性算子.在文献[11]的基础上,本文将刻画一类特殊无零因子反环上保持矩阵{1}-逆的可逆线性算子.

则(C,+,·,0,1)成为半环,称其为链半环.易见,链半环一定是可换无零因子反环.

设P是实数环ℝ(在普通的加法和乘法下)的含幺子环,P的非负部分记为P+.容易验证,P+是半环.非负整数半环Z+和非负实数半环ℝ+都是P+的例子.显然,Z+和ℝ+是可换无零因子反环.

则(B1,+,·)成为半环.称其为二元布尔代数[1].

设S是半环,若(S,·,1)是可换的,则称S是可换的.若对任意a,b∈S,a+b=0蕴涵着a=b=0,则称S是反环[10].若对任意a,b∈S,ab=0蕴涵着a=0或b=0,则称S是无零因子的.

设φ是Mn(S)上的算子,若φ满足对任意A,B∈Mn(S),a,b∈S有

则称φ是Mn(S)上的线性算子.

Ei,j∈Mn(S)表示在(i,j)位置为1,其余位置为0的矩阵.对于矩阵P∈Mn(S),如果P的每一行和每一列都只有一个非零元,且非零元是1,那么称P是一个排列矩阵.需要注意的是若P∈Mn(S)是排列矩阵,则PPT=PTP=I.

2 主要结果

引理2.1[11]S是可换无零因子反环,φ是Mn(S)上的线性算子.若φ是保持矩阵{1}-逆的可逆线性算子,则存在P,B∈Mn(S)使得

定理2.1设S是可换无零因子反环,满足条件:对于任意的a∈S,a2=1蕴涵着a=1.φ是Mn(S)上的线性算子,则φ是保持矩阵{1}-逆的可逆线性算子的充分必要条件是存在可逆矩阵U∈Mn(S),使得

进一步,bijbji=1.

下面讨论n≥3的情形.对互不相等的i,j,k∈n,由

其中D=diag{b11,b21,…,bn1}.设U=PD.易见,U是可逆的.故φ(X)=P(X◦B)PT= UXU-1.当n≤2时,容易得到结论仍是成立的.

类似可证φ(X)=P(XT◦B)PT的情形.

(⇐=)当φ(X)=UXU-1时,易验证φ是可逆的.对任意A,B∈Mn(S),若A=ABA, 则

故φ是保持矩阵{1}-逆的.类似可证φ(X)=UXTU-1的情形.

当S=B1,ℝ+,Z+,或C时,S满足定理2.1的条件,故文献[11]中的推论2.3和2.6可由定理2.1得到.

引理2.2[12]设S=∏λ∈∧Sλ,其中(∀λ∈∧)Sλ是半环.设φ是Mn(S)上的线性算子. 则φ保持矩阵{1}-逆当且仅当对于任意的λ∈∧,φλ保持矩阵{1}-逆.

定理2.3设S=∏λ∈∧Sλ,其中(∀λ∈∧)Sλ是可换无零因子反环,满足条件:对于任意的a∈Sλ,a2=1蕴涵着a=1.设φ是Mn(S)上的线性算子.则φ是保持矩阵{1}-逆的线性算子当且仅当存在可逆矩阵U∈Mn(S)和f1,f2∈S使得

其中U是可逆矩阵,(f1)λ,(f2)λ∈{0,1},(f1)λ/=(f2)λ(∀λ∈∧).

证明(=⇒)由引理1.1和引理2.2知对于任意的λ∈∧,φλ是保持矩阵{1}-逆的可逆线性算子.又由定理2.1知存在可逆矩阵U使得

由定理2.1知φλ是保持矩阵{1}-逆的可逆的线性算子.又由引理1.1得φ是保持矩阵{1}-逆的可逆的线性算子.

易见,文献[12]中的推论2.3.1和推论2.3.2是定理2.2的特殊情形.

致谢作者衷心感谢赵宪钟教授的悉心指导.

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Linear operators preserving{1}-inverses of matrices over semirings

Li Dongliang1,Ren Miaomiao1,Liu Jianhua1,Li Bin2
(1.Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China; 2.Department of Project Management,Shaanxi Radio and TV University,Xi′an 710068,China)

In this paper we characterize invertible linear operarors that preserve{1}-inverses of matrices over special entire antirings.Based on obtained results,we give forms of invertible linear operarors that preserve {1}-inverses of matrices over direct product of special entire antirings.Thus some results obtained in some essays are generalized.

commutative entire antiring,{1}-inverse,linear operator

O152.7

A

1008-5513(2013)02-0185-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.02.012

2013-01-17.

陕西省自然科学专项基金(2011JQ1017).

李栋梁(1986-),硕士生,研究方向：代数学.

2010 MSC:15A04,15A86,16Y60