基于参数模型的EVaR风险度量

钱夕元 张超

摘要 针对EVaR （Expectilebased Value at Risk） 风险度量提出了基于GARCH类和SV波动率模型的EVaR风险度量计算方法，即EVaR计算的参数模型方法并基于模拟学生t分布时间序列数据，给出EVaR样本外预测的失败率检验方法：Kupiec失败率检验和动态分位数（DQ）检验法与采用CARE （Conditional Autoregressive Expectile）模型的EVaR计算方法进行了对比研究，结果表明基于GARCH类模型和SV模型相对于基于CARE模型有更优的EVaR预测效果.选取2004年1月5日到2009年12月30日的国内外五个股票市场指数数据，针对日对数收益率进行了EVaR风险度量的实证研究，得出在金融危机期间，基于参数模型的EVaR预测要比基于CARE模型的EVaR预测更接近市场实际风险.

关键词 EVaR；CARE模型；GARCH类模型；SV模型

中图分类号F224.7 文献标识码A

1引言

在现代金融理论中，风险的定义、分析和管理的理论方法占据着重要的地位.风险度量和风险管理已成为各大商业银行，投资银行，机构投资者乃至个人投资者管理资产的一个必备工具.在众多风险度量方法中，在险价值VaR （Value At Risk）最早由J. P. Morgan提出的一种风险度量方法，该方法以“简单实用，适用广泛”的特点广受欢迎，并且迅速成为风险分析中的一种主要方法.VaR的计算一般有三种方法：一是参数方法，应用ARCH和SV模型来描述随机波动率，进而求得VaR的估计；二是非参数方法，包括蒙特卡洛模拟法和历史数据模拟法；三是半参数方法.

为评价风险度量方法，Artzner等提出了风险度量的一致性公理[1].若某种风险度量满足平移不变性、单调性、次可加性以及正齐次性这四个条件，则称该风险度量为一致性风险度量.只有一致性风险度量才能充当投资组合管理工具.而VaR风险度量不满足次可加性，从而不是一致性风险度量，用VaR进行风险度量时，投资组合的风险不一定小于各单个资产的风险之和，这就违背了风险分散化的投资准则.

为了克服VaR风险度量的上述缺陷，Rockafeller和Uryasev提出了条件在险价值CVaR（Conditional Value At Risk）风险度量方法[2].Acerbi和Tasche的研究指出CVaR是一个一致性风险度量[3].

不论VaR还是CVaR模型，均属于基于分位数（quantile）的风险度量，度量的是资产分布在下尾部的极值所造成的风险，都只与资产收益的尾部特征有关，而没有涉及收益的整个分布情况.Kuan等指出expectile在分布形式上比quantile更有全局的依赖性，VaR的计算只与收益分布的尾部取值的大小以及取相应值的概率有关，从而改变一个分布的上尾形状并不会改变VaR的取值大小，但它却影响所有的expectile[4].基于expectile以上的优点，Kuan等提出了一个基于expectile的风险度量测度EVaR（Expectilebased Value at risk） [4].EVaR风险度量比VaR对极值变化的反应更加敏感，并且对资产收益的整个分布都是敏感的.另外，Rossi和Harvey的研究表明，当谨慎性水平小于0.5时，EVaR是一致风险度量[5].因而EVaR是比VaR具备更优良性质的一种风险度量.最近，Fabian 和Thomas[6]以及姚宏伟[7]基于expectile提出了一些新的模型.

Kuan等提出了两类条件自回归expectile （Conditional Autoregressive Expectile， CARE）模型来计算EVaR[4]，基于Newey和Powell提出的非对称最小二乘（ALS）方法[8]来计算每一类模型，并做了两类模型比较的理论研究，给出了模型选择的判别方法.

但Kuan等提出的CARE模型[4]并没有考虑异方差的情形，而金融数据很容易碰到异方差的情形，所以该模型在应用于金融数据时并不太合适.本文基于GARCH类和SV波动率模型研究EVaR风险度量的计算方法，即EVaR计算的参数模型方法，并基于模拟学生t分布时间序列数据，给出EVaR样本外预测的失败率检验方法：Kupiec失败率检验和动态分位数DQ检验法，与采用CARE模型的EVaR计算方法进行对比评价，并将这些EVaR计算模型应用到国内外股票市场指数收益数据进行风险估计，以评价各类模型在估计和预测不同股票市场EVaR风险的适用程度.

2 EVaR定义及计算模型

2.1EVaR的定义

最大化此条件似然函数即得出了参数的估计，进而利用式（4）递推得到波动率的估计值.类似地可以得到EGARCH模型的估计.

3. 2SV模型的参数估计

SV模型的参数估计方法有伪极大似然QML （Quasi Maximum Likelihood）， 广义矩估计GMM （Generalized Method of Moments）和马尔可夫链蒙特卡洛MCMC （Markov Chain Monte Carlo）方法等.本文采用伪极大似然方法QML进行估计.

4 基于模拟数据的EVaR分析

首先生成两组服从不同自由度的学生t分布的模拟数据，然后分别用CARE， GARCH， EGARCH和SV模型建模，并进行模型估计，然后计算EVaR进行风险分析.为检验模型优劣，给出了EVaR预测的两种返回检验方法，进行评价研究.

4.1数据准备

由于金融资产收益的分布具有尖峰厚尾特性，本文采用自由度分别为3和5的学生t分布来生成模拟时间序列数据，各自生成的序列长度为700.如图1所示.

4.2EVaR的计算

分别用CARE， GARCH， EGARCH和SV模型来计算服从学生t（3）和t（5）分布的模拟数据在谨慎性水平为1%下的EVaR.对于每个估计模型，用模拟数据的前500个数据来得到模型的参数估计，然后向后滚动预测得到200个EVaR的值.

4.2.1基于CARE模型的EVaR计算

采用Kuan等的方法 [4]，表1和表2分别列出了用CARE1模型和CARE2模型计算两组服从学生t分布模拟数据的EVaR所得的参数估计及相应的标准差.表1和表2中的倒数第二行给出模型计算EVaR的失败率大小，即预测的EVaR大于相应模拟数据数值的次数在总体中所占的比例.表1和表2中的最后一行列出了学生t分布在谨慎性水平为1%下的EVaR对应的VaR的显著性水平大小，从表1和表2中可以看出，服从t（3）分布的模拟数据比t（5）分布模拟数据模型计算的失败率更接近于理论水平.

4.2.2基于GARCH类和SV模型的EVaR估计

由模型选择的AIC和BIC准则，对于模拟数据，最终确定可以用GARCH（1，1）和EGARCH（1，1）模型来建模，为了客观地与其他EVaR计算模型的结果相比较，假定波动率的新息序列服从标准正态分布.表3列出GARCH（1，1）模型估计两条模拟时间序列的相关统计量，从表3中数值可以看出系数β1非常显著，说明模拟数据的ARCH效应明显存在，且GARCH模型预测EVaR的失败率比CARE模型更为接近理论失败率.

EGARCH（1，1）的波动率过程可表示为

从表4的结果可知，EGARCH的杠杆系数γ1的估计值都不为零，所以模型的杠杆效应是显著存在的，EGARCH模型预测EVaR的失败率与GARCH模型预测EVaR的失败率是相同的.

表5给出了采用SVNormal模型估计服从学生t分布模拟数据的有关统计量.模型估计参数在5%显著性水平下基本都显著，且样本外预测EVaR的失败率与理论失败率都比较接近.

4..3EVaR的返回检验（Back Testing）

为对选用模型进行评价比较，下面给出EVaR风险度量的返回检验方法.对于服从已知分布的模拟数据而言，每个谨慎性水平下的EVaR都对应于某一置信水平下的VaR，因而可以将VaR返回检验方法移植到EVaR风险度量中，形成EVaR的返回检验方法.本文将目前最常用的VaR返回检验方法：Kupiec失败率检验法[11]和Engel和Managenelli的动态分位数（Dynamic Quantile， DQ）回归检验法[12]移植得到EVaR的返回检验.

表6列出上面四种模型的预测EVaR的Kupiec失败率检验结果，表中的P值表示拒绝原假设H0的最小的显著性水平，P值越大，表明EVaR计算的准确度越高.从表6容易得出，在99%置信水平下Kupiec失败率检验拒绝了t（5）分布的模拟数据基于CARE2模型的EVaR预测，在95%置信水平下Kupiec失败率检验拒绝了t（5）模拟数据基于CARE1模型的EVaR预测，但在95%置信水平下Kupiec失败率检验均接受了基于GARCH（1，1），EGARCH（1，1）和SVNormal模型的EVaR预测.因而对于服从自由度分别为3和5的学生t分布的模拟时间序列数据EVaR预测而言，GARCH类和SV模型比CARE模型更有优势.

表7列出了各模型预测EVaR的DQ检验统计量及其对应的P值.由表7可知，在95%的置信水平下，DQ检验接受了CARE1，GARCH（1，1）以及EGARCH（1，1）模型的t（3）模拟数据EVaR的预测，在99%的置信水平下，DQ检验还接受了EGARCH（1，1）模型的t（5）模拟时间序列EVaR的预测，但检验均拒绝了CARE2， SVNormal模型对两个模拟时间序列的EVaR的预测.从DQ检验的结果可得出，对于本文中服从t（3）和t（5）分布的模拟数据，基于GARCH类模型的EVaR预测优于基于CARE模型的EVaR预测.

以上检验结果表明，对于具有尖峰厚尾特征的模拟数据，基于参数模型的 EVaR风险度量，GARCH类和SV模型略优于CARE模型.考虑到实际中金融资产收益具有尖峰厚尾特性，采用GARCH类和SV模型来估计和预测资产收益的EVaR度量是较好的选择.

5 基于EVaR的实证分析

5.1数据

选取2004年1月5日到2009年12月30日的上证综指（SH），深圳成指（SZ），香港恒生指数（HZ），日经225指数（Nikkei）以及纳斯达克指数（Nasdaq）数据，数据来源于大智慧证券分析软件.为了便于分析的统一性，选取其中五个股指数据都有发布的日期，并将2004年1月5日到2007年12月28日之间的886个数据作为模型估计的样本内数据，将2008年1月2日到2009年12月30日之间的442个数据作为预测EVaR的样本外数据.

考虑如下日对数收益率：

图2为各股指的日收盘价随时间的变化，从图中很容易观察到国内股指的波动性比美国、日本等成熟资本市场的股指的波动性要大，特别是在2008年、2009年全球金融危机时期，这表明国内股市的风险在这期间比成熟资本市场股市的风险要更大.另一方面，恒生指数的走势与大陆股市股指的走势越来越具有一致性，日收益的相关性很高，因而它们的风险也应具有一定的相似性.

图3刻画了各股指对数收益率随时间的变化图.可以看出，各股指收益率的波动幅度在2008年金融危机后都明显增强，这段时间股指的波动率更大.从收益率变动图还可以看出，不论是国内股指收益率还是国外股指收益率都呈现出一定的“波动率聚集”现象.

表8给出了各股指日对数收益率的描述统计量，由表可得，各股指对数收益率分布的JarqueBera正态性检验的P值均为0，均在99%的置信水平下显著，因而所有股指的收益率序列都拒绝了正态分布的原假设.上证指数和深圳成指收益率序列的方差比日经指数以及纳斯达克指数收益率序列的方差要大，这说明国内股票市场比国外股票市场的波动更为剧烈，风险更大，尽管它们的峰度系数比国外市场的峰度系数小，但所有股指收益率序列的峰度均大于3，都呈现出尖峰的特征.此外，各收益率序列的偏度系数均小于0，表现出左偏性.

表8最后一行给出了各股指收益率序列的单位根检验的结果，表明各收益率序列均为平稳的时间序列，因而可以对它们直接进行分析和建模.

为进一步研究收益率序列的性质，本文对收益率及其一阶滞后项序列的回归的残差序列进行了ARCH效应检验，残差序列的滞后阶数分别取1阶，2阶和3阶.从表9的检验结果来看，所有股指的收益率序列在滞后1～3阶的ARCHLM检验的P值均小于0.01，即在99%的的置信水平下均拒绝原假设，因而各股指收益率序列都存在显著的高阶ARCH效应，波动率序列表现出较强的序列相关性.

5.2基于CARE模型的各股指收益率序列的

EVaR计算

首先估计谨慎性水平为1%条件下的各股指收益率序列的CARE模型，然后再计算样本内的EVaR，最后滚动预测样本外每天股指收益的EVaR.表10给出了各股指收益率序列的CARE1模型的参数估计，括号内给出了各参数估计所对应的标准差，用来确定模型阶数的显著性水平为10%，深证成指以及日经指数所确定的滞后阶数为3，而上证指数，恒生指数以及纳斯达克指数所确定的滞后阶数为4，每个模型的常数项估计值均为负，并且在99%的置信水平下均是显著的.同样地，表11给出了各股指收益率序列的CARE2模型的参数估计及其对应的标准差，除了纳斯达克指数外，其余4个股指收益率序列采用CARE2模型估计的最后两个参数在90%的置信水平下是显著的，5个模型的滞后阶数均为5.

为了更好地比较CARE1和CARE2两类模型EVaR估计的效果，表10和表11的最后两行分别给出了两类模型估计EVaR的样本内和样本外的失败率，在谨慎性水平为1%的条件下，样本内估计EVaR的失败率大部分位于3%-4%之间，而样本外预测EVaR的失败率全部大于10%，这说明在样本外预测EVaR时，CARE模型低估了EVaR的大小，因而CARE模型不适宜用来预测金融危机时期的股指EVaR.另一方面，日经指数和纳斯达克指数的样本外失败率明显大于国内和香港市场股指的样本外失败率，这表明CARE模型更适合用于预测国内和香港市场的股指风险.

5.3基于GARCH类和SV模型的各股指收

益序列的EVaR计算

表12列出了用GARCH（1，1）模型来估计5个股指收益率序列的有关统计量.首先由各收益率序列的偏自相关函数来确定AR模型的阶，除了Nasdaq指数收益率序列建模的AR项的阶数为1外，其余股指收益建模的AR项的阶数均为0，并且所有股指的收益率序列GARCH模型的参数估计在5%的显著性水平下均是显著的.

各模型的样本内EVaR估计的失败率均在4%至5%之间，而各模型的样本外EVaR预测的失败率比CARE1，CARE2模型的样本外EVaR预测的失败率都要低，这说明GARCH模型的样本外EVaR预测效果比CARE类模型的样本外EVaR预测效果好.

从图3中各股指收益率序列图可看出，前期正负收益对当期收益波动影响大小是不同的，因而采用EGARCH（1，1）模型对各股指收益率序列进行建模.表13给出了5个EGARCH（1，1）模型估计的有关统计量，各模型的新息取自自由度为10的学生t分布，其 1%下侧expectile为-2.在95%的置信水平下，从样本内残差的LjungBox检验结果可知，除了上证综指收益率序列的新息存在一定的相关性，其他的几个股指收益率序列的新息均没有自相关性存在，上证指数，深证成指以及恒生指数的收益率序列的样本内新息序列拒绝了服从自由度为10的学生t分布的原假设，日经225指数以及纳斯达克指数的收益率序列的样本外序列新息拒绝了服从自由度为10的学生t分布的原假设.5个EGARCH（1，1）模型的EVaR估计的样本内失败率均小于对应的GARCH（1，1）模型的失败率，而样本外失败率并无很明显的变化.

综合以上基于CARE1，CARE2，GARCH，EGACH，SV等5种模型的EVaR预测结果，比较得到的5个股指样本外EVaR预测的均值可知，在金融危机期间，国内股市和香港股市的风险明显高于美国纳斯达克指数和日本日经225指数，其中美国纳斯达克指数的风险是最低的.

6 结论

针对EVaR风险度量，本文提出了基于GARCH类和SV波动率模型的EVaR的计算方法，即EVaR计算的参数模型方法，给出了服从学生t分布模拟时间序列数据的EVaR样本外预测的失败率检验方法，对5个模型进行了比较评价，最后选取国内外5个股票市场指数数据进行了EVaR风险对比分析实证研究.

从模拟时间序列数据的EVaR样本外预测失败率检验结果来看，在99%的置信水平下，Kupiec失败率检验接受了大部分的模型，但DQ检验拒绝了两类CARE模型以及SV模型，因而GARCH类模型对于服从学生t分布的模拟数据的EVaR预测表现最好，这说明用波动率模型来进行EVaR估计和预测是可行的.

实证研究结果表明，在金融危机期间，基于CARE模型计算的EVaR低估了市场的实际风险，而基于GARCH类模型和SV模型预测的EVaR更接近于市场实际风险.对于上证综指，深圳成指以及恒生指数的EVaR预测，EGARCH模型要比SV模型更合理，对于日经225指数以及纳斯达克指数的EVaR预测，SV模型要比EGARCH模型更合理.今后可以考虑将单个资产收益的EVaR计算推广到投资组合收益的EVaR，进而考虑将EVaR风险度量应用到更多的金融领域，如期货市场，债券市场等.

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