倒向随机方程期权定价模型的一类随机算法

谷伟 许文涛

摘要 期权定价问题可以转化为对倒向随机微分方程的求解，进而转化为对相应抛物型偏微分方程的求解.为了求解与倒向随机微分方程相应的二阶拟线性抛物型微分方程初值问题，引入一类新的随机算法分层方法取代传统的确定性数值算法.这种数值方法理论上是通过弱显式欧拉法，离散其相应随机系统解的概率表示而得到.该随机算法的收敛性在文中得到证明，其稳定性是自然的.并构造了易于数值实现的基于插值的算法，实证研究说明这种算法能很好地提供期权定价模型的数值模拟.

关键词期权定价；倒向随机微分方程；拟线性抛物型法；概率表示；分层方法

中图分类号F830.9， O241.81 文献标识码A

1引言

期权是金融衍生工具的一种基本形式，近年来，金融衍生工具变得越来越重要，主要是因为它可以作为保值和减小风险的工具，又可以被当做高风险和高收益的机会.金融衍生工具本身是一种证劵，其价值依赖于其他更基本的“标的资产”，在今天的国际金融市场上，金融衍生工具形形色色，多种多样，且新产品层出不穷，但最基本的形式有期权（Option），期货（Futures），远期（Forwards）和掉期（Swaps）等等.

在金融经济学中，期权定价及其套期保值策略的构造具有重要的地位，对于定价已有很多研究成果[1，2]，传统的期权定价理论一般以随机分析中的鞅表示定理和Gisanov定理作为研究工具，近年来，随着倒向随机微分方程理论的迅速发展，文献[3，4]采用不同方法分别研究了期权定价问题，并得到相应的结果，即对期权定价模型的处理最终转化为求解倒向随机微分方程或偏微分方程，而对倒向随机微分方程的离散也可转化为求解相应的偏微分方程，故求解偏微分方程变得非常重要.然而，由于非线性偏微分方程的解析解一般很难给出，人们开始转向寻求其数值解，进行数值模拟.在相关的数值研究方面，关于确定性方法研究的文章和著作比较多[5]，通过不确定性的方法来构造数值算法的研究成果相对较少[6-9].本文引入的分层方法就是通过随机方法构造一类求解偏微分方程的数值方法，进而给出求解期权定价模型的数值模拟方法.

经济数学第 29卷第4期

谷伟等：倒向随机方程期权定价模型的一类随机算法

2传统期权定价模型

其中X为期权的执行价格，式（2）中第一个条件是买入期权的终端支付条件；第二个条件是说当股票价值为零时，由于以后的股票价一直为零，故期权价值也为零；第三个条件是说当股票价格无限地递增时，期权越来越可能执行，且执行价格的大小变得不太重要，此时，期权价值就变成了股票价值.引入记号

由以上对传统欧式期权定价公式的介绍可见，欧式期权价格的求解最终转化为对方程（1）的求解，这些抛物型方程只是线性形式的偏微分方程，容易求出其显示解.而对于更复杂的期权模型的研究，很难找到其解析解，就需要通过其他办法来处理，文献[3，4]是其中代表性的研究成果，引入倒向随机微分方程对期权进行定价研究.

3基于倒向随机微分方程的期权定价模型

通过可以由解正倒向随机微分方程得到BlackScholes公式这一事实，不仅说明了倒向随机微分方程理论可以用来对期权定价问题进行更精确更合乎实际的计算和分析，更重要的是人们可以用它来帮助投资者进行回避风险的套期保值及其他各类风险分析.特别是倒向随机微分方程理论可以用来对不完全市场中的各种派生证券的定价及套期保值问题提供有力的分析和近似计算方法.

4离散抛物型微分方程的分层方法

下面考虑如下稍复杂些的一维二阶拟线性抛物型偏微分方程初值问题的离散方法：

方法（17）就是所构造的分层方法，它是隐式格式.以上就是分层方法的基本思想.虽然在分层方法的构造中采用了解的概率表示，但方法本身却是确定性的，事实上，由于对数学期望的计算采用的一般是显示方法，这种不确定性就不存在了.值得注意的是它和通常所见的差分方法的区别是这里仅需对时间区间进行离散，而和x没有必然联系，因此分层方法的优越性就在于它的稳定性是方法本身所固有的[6-9].后来尽管也对x进行了离散，那也只是为了减少计算量.

5算例分析

案例1设股票A现在价格为58.875元，年无风险利率为0.08，设股票年回报标准差为0.22，估计三个月后到期，求执行价格为60元的欧式看涨期权的值？

从表1中可以看出，本文所提供的新的数值算法能够很好的近似期权定价问题的真实解，说明这种新的数值算法在应用上的可行性.并且随着步长h的变小，数值解会越来越接近真实解，并且不同算法获得结果之间的差异也越来越小.本文的算法还适合于求解更为复杂的半线性和拟线性抛物型方程，进而可以用于求解更复杂的期权定价问题.所构造的新算法具有相当的精确性、实用性和可执行性.

总之，自1973年Black和Scholes得到BlackScholes公式时还没有倒向随机微分的概念，而若干年后，人们又从倒向随机微分方程理论再一次推导出来该公式，科学竟产生了如此美妙的共鸣.期权定价理论的发展在客观上极大的促进了倒向随机微分方程的产生和发展，并进一步推动了偏微分方程在理论和计算技术上的发展，而倒向随机微分方程和偏微分方程在期权定价问题中也发挥着越来越重要的作用.

随着市场经济的深入发展，以及我国经济与国际经济的全面接轨，期权定价理论和倒向随机微分方程理论以及偏微分方程计算技术在我国经济金融领域必将得到更加广泛的应用，并且势必对其他的理论产生更大的促进作用和深远的影响.

参考文献

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