亚纯函数的正规族与重值

黄跃龙， 叶亚盛

（上海理工大学理学院，上海 200093）

亚纯函数的正规族与重值

黄跃龙， 叶亚盛

（上海理工大学理学院，上海 200093）

设F是区域D上的一族亚纯函数，ψ（0）是区域D上的全纯函数，k为正整数，且对于任意的函数f∈F，都满足条件：f不取零不取零；且零点重级大于等于（k+2）/k，且中括号内的微分多项式与ψ（z）无公共零点；其中ai（z）与bi（z）是区域D上全纯函数（i=0，1，…，k-1），则F在D内正规.

正规族；重级；亚纯函数

1979年，Gu［1］证明了Hayman［2］关于正规族的一个著名的猜想，这一个结果被称为顾永兴定则，内容为：

定理1设F为区域D内的一族亚纯函数，k为正整数，a为非零常数.若对任意的f∈F都满足f≠0，f（k）≠a，则F在D内正规.

Fang等［3］考虑了定理1中a=0的情况，适当添加了条件，得到：

定理2设F为区域D内的一族亚纯函数，k为正整数，b为非零复数.若对任意的f∈F满足f≠0，f（k）≠0，且f（k）-b的零点重级不小于（k+ 2）/k，则F在D内正规.

徐焱等［4］考虑了可否将定理2中的非零复数b改为一般的不恒为零的全纯函数，其证明了：

定理3设F为区域D内的一族亚纯函数，ψ（0）为D内的全纯函数，k为正整数，若对任意的f∈F都满足：

a.f≠0，f（k）≠0；

b.f（k）（z）-ψ（z）的零点重级至少为（k+2）/k，则F在D内正规.

本文将定理3中的f（k）（z）推广为一般的微分多项式，得到结论：

定理4设F是区域D上一族亚纯函数，ψ（0）是区域D上全纯函数，k∈N+.若∀f∈F，满足：

无公共零点，其中，ai（z）与bi（z）是区域D上全纯函数（i=0，1，…，k-1），则F在D内正规.

1 一些引理

引理1［5-6］（Pang-Zalcman引理）设F是单位圆盘D内的亚纯函数族，F中的每个函数的零点重级至少是k，并且有：

a.f（z）=0，必有f（k）（z）≤A；

b.F在单位圆盘D内不正规，那么对于每一个α，0≤α≤k，存在

（a）实数0＜r＜1；

（c）函数数列fn∈F；

（d）正数列ρn→0+，使函数列在C上按球面距离内闭一致收敛到g（ζ），并且g#（ζ）≤g#（0）=k A+1.特别的g的级至多为2.

引理2［8］设k≥1，l≥0为两个正整数，f是复平面C上有理函数，如果f≠0，f（k）≠0，则f（k）-zl至少有一个单零点.

引理3设k∈N+，F是区域D上的一族亚纯函数，｛φn（z）｝为D上一列全纯函数，且φn→φ（≠0）在D内内闭一致收敛.若对∀fn∈F，fn≠0，且的零点重级至少为（k+2）/k，其中ai（z）与bi（z）是区域D上全纯函数（i=0，1，…，k-1），则F在D内正规.

得到矛盾，故g是有理函数.又g≠0，g（k）≠0，由引理2，g（k）-φ（z0）至少有一个单零点，得出矛盾.故引理3得证.

引理4设k∈N+，F是区域D上一族全纯函数，ψ（0）为D上全纯函数，∀f∈F，f≠0，且f（k）+ak-1f（k-1）+…+a1f′+a0f-ψ（z）零点重级≥2，其中ai（z）是区域D上全纯函数（i=0，1，…，k-1），则F在D内正规.

证明由正规族的局部性质，仅需要证明F在D内每一点正规，设z0∈D.

情形1ψ（z0）≠0.若F在z0处不正规，则存在fn∈F，zn→z0，ρn→0+，使得gn（ξ）=fn（zn+ ρnξ）/ρkn→g（ξ）按球面距离内闭一致地收敛，其中g是复平面上的非常数全纯函数，且g（ξ）≠0，ρ（g）≤1.所以g（ξ）=eAξ+B，其中A（≠0）和B为常数，而

按球面距离内闭一致地收敛.由于函数列的零点重级≥2，所以g（k）（ξ）-ψ（z0）的零点重级≥2.而g（k）（ξ）=AkeAξ+B，因为AkeAξ+B-ψ（z0）只有单零点，矛盾.

情形2ψ（z0）=0，则存在δ＞0，使得在D′δ（z0）上ψ（z）≠0.由情形1知F在D′δ（z0）内正规.设｛fn｝为F的一函数列，则存在｛fn｝子列（仍记为它本身），使得｛fn｝在D′δ（z0）上内闭一致收敛到一解析函数或一致发散到∞.

若为第一种情况，由最大模原理，｛fn｝在Dδ（z0）上也内闭一致收敛.

若为第二种情况，1/fn→0在D′δ（z0）上内闭一致收敛，而fn≠0，1/fn全纯，由最大模原理，1/fn→0在Dδ（z0）上内闭一致收敛，从而｛fn｝在Dδ（z0）上也内闭一致发散到∞.综上F在z0正规，引理4得证.

证明注意到ψn（z）=zlφn（z）→zl=ψ（z），由正规族的局部性质，仅需要证明F在D内每一点正规，设z0∈D，分两种情形来讨论：

情形1ψ（z0）≠0.若F在z0不正规，则存在fn∈F，zn→z0，ρn→0+，使得按球面距离内闭一致收敛，其中g是复平面上非常数全纯函数，且g（ξ）≠0，ρ（g）≤1，所以g（ξ）=eAξ+B，其中A（≠0）和B为常数，而

按球面距离内闭一致的收敛.由于函数列的零点重级≥2，所以g（k）（ξ）-ψ（z0）的零点重级≥2，而g（k）（ξ）=AkeAξ+B，故AkeAξ+B-ψ（z0）只有单零点，矛盾.

情形2ψ（z0）=0，即z0=0，即只需证明F在z0=0处正规.因为存在δ＞0，使得在D′δ（z0）上ψ（z）=zl≠0，由情形1的证明知F在D′δ（z0）内正规，下面的证明同引理4的情形2部分.

从证明中看到引理5中的条件：f（k）n+ak-1f（k-1）n+…+a1f′n+a0fn≠0可以省去.

2 定理4的证明

由正规族的局部性质，仅需要证明F在D内每一点正规，不失一般性，设D=Δ为单位圆盘.不妨设ψ（z）=zlφ（z），（z∈Δ），l是正整数，且φ（0）= 1，φ（z）≠0在，下证F在z= 0处正规.

作G=｛g（z）=f（z）/ψ（z），f∈F，z∈Δ｝，因为f≠0，所以g（0）=∞.

先证明G在Δ内正规.若G在z0∈Δ不正规，则存gn∈G，zn→z0，ρn→0+，使得）按球面距离内闭一致的收敛，G（ξ）是非常数亚纯函数，因gn≠0，故G（ξ）≠0.下面分两种情形来讨论：

由条件式（2）左边的分子零点重级≥（k+2）/k，又由条件式（2）左边的分子与分母无公共零点，所以G（k）（ξ）-1零点重级≥（k+2）/k，综上G（ξ）≠0，G（k）（ξ）≠0，G（k）（ξ）-1零点重级≥（k+2）/k，由引理2知G（ξ）为超越函数，所以

所以，ξ=0是G-（ξ）的极点，且其重数≥l.

［1］ Gu Y X.A normal criterion of meromorphic families［J］.Scientia Sinica Math，1979，1（1）：267-274.

［2］ Hayman W K.Research problems in function theory［M］.London：Athlone Perss，1967.

［3］ Fang M L.Chang J M.Normal families and multiple values［J］.Arch Math，2007（88）：560-568.

［4］ 徐焱，常建明.正规定则与重值［J］.数学学报，2011，54（2）：265-270.

［5］ Pang X C，Zalcman L.Normal families and shared values［J］.Bull London Math Soc，2000，32（3）：325 -331.

［6］ Zalcman L.Normal families new perspectives［J］.Bull Amer Soc，1998，35：215-230.

［7］ Clunie J，Hayman W K.The sphereical derivative of integral and meromorphic functions［J］.Comment Math Helvet，1966，40（1）：117-148.

［8］ Xia J Y，Xu Y.Normal families of meromorphic functions with multiple values［J］.J Math Anal Appl，2009，354（1）：387-393.

Normal Families of Meromorphic Functions and Multiple Values

HUANGYuelong， YEYasheng
（College of Science，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

Let F be a family of meromorphic functions defined in a domain D，ψ（0）be a holomorphic function in D，k is a positive integer.If∀f∈F，we haved oes not go to zero，all zeros ofhave multiplicities at least（k+2）/k，and the differential polynomiala nd the functionψ（z）have no common zeros，where ai（z）and bi（z）are holomorphic functions in D（i=0，1，…，k-1），then F is normal in D.

normal family；multiplicity；meromorphic function

O 174.52

A

1007-6735（2013）01-0060-05

2012-03-07

黄跃龙（1987-），男，硕士研究生.研究方向：复分析.E-mail：huangyuelong188@163.com

叶亚盛（1960-），男，副教授.研究方向：复分析.E-mail：yashengye@yahoo.com.cn