自适应光学随机并行梯度下降控制算法的研究

徐友会，佟首峰

(长春理工大学 空间光电技术研究所，长春 130022)

0 引言

目前大多数自适应光学系统都是应用波前传感器探测出畸变波前的相位信息，然后用波前处理机重构出波前，再用校正器进行校正［1-2］。这类自适应光学系统结构复杂，成本较高，且受闪烁效应的影响，当光波传播距离较远或湍流较强时，会导致常用的哈特曼波前传感器不能准确的获得波前信息，从而导致依靠探测波前信息的传统自适应光学系统不能正常工作。因此，结构简单且不依赖波前测量的校正式自适应光学系统逐渐成为人们新的研究方向［3-4］。

这种系统使用优化算法直接对性能指标进行优化，不需依赖波前探测器探测畸变波前信息，从而降低了系统的复杂性，也降低了控制算法的复杂性。在这种系统中优化算法的选取时关键。目前常用的算法有随机并行梯度下降算法(SPGD)、模拟退火法(SA)、遗传算法(GA)，其中国内外研究表明，随机并行梯度下降算法是一种比较具有前途的优化控制算法。

1 自适应光学系统SPGD算法

图1 SPGD算法流程图

1.1 SPGD算法的实现过程

SPGD算法作为一种循环控制算法，实时控制变形镜的驱动电压，从而优化性能指标J。在自适应光学系统中，残余相位φ(r)=φ(r)+u(r)，其中φ(r)为畸变波前相位，u(r)为波前校正器引入的相位，r=(x，y)为与光轴垂直的平面内的位置矢量。SPGD算法的具体实现过程如下:随机生成扰动向量δu(n)={δu1，δu2，...，δuN}(n)，其分布满足伯努利分布，即幅值的绝对值相等概率相等(初始值一般都取0)。性能指标的变化量为δJ(n)=J(+n)-J(-n)，其中

则梯度估计为δJ(n)δu(n)，利用梯度下降进行迭代:u(n+1)=u(n)+γδJ(n)δu(n)，在实际操作中，若目标函数向极大化方向优化，γ正值;反之取负值。迭代的过程就是在一定的迭代步数内，在控制参量空间寻找最优的电压向量u(r)，使得残余相位最小，系统性能达到最优。算法流程图如图1所示:

1.2 控制参量

在SPGD算法中控制参量为变形镜的驱动电压引入的相位，其表达式为:u(r)=∑Nj=1ujSj(r)，式中:N为变形镜驱动器个数，在文中取32;uj为第j个驱动器的驱动电压;Sj(r)为第j个驱动器的影响函数，其表达式如下所示:

图2 驱动器的分布形式

其中p为驱动器的交连值，а为高斯指数(文中取2)，rd为驱动器之间的归一化间距，xc(j)，yc(j)为第j个驱动器坐标，驱动器的排布形式如图2所示。

1.3 性能指标

本文选取斯特列耳比SR为系统的性能指标。斯特列尔比是自适应光学领域评价光束质量的一个重要的性能指标，峰值斯特列尔比定义为实际光斑峰值强度与衍射极限光斑峰值强度的比值，可以由下式计算得到:SR≈1-(2πδ)2

2 数值仿真结果与分析

实验中采用Zernike多项式模拟大气湍流畸变波前，且只取多项式的前30项，其模拟结果如图3所示:

2.1 扰动幅值与增益系数的影响

在利用基于SPGD算法的自适应光学校正波前畸变实验中可以看出，选取不同的扰动幅值和增益系数时，系统的收敛速度会有所不同，其校正效果也有所差异。因此下面就着重讨论一下当其他条件一定，选取不同的扰动幅值和增益系数时，对校正效果有何影响。

图3 校正前的畸变波前

图4 不同增益系数时的斯特列尔比的变化曲线

图4 给出了当扰动幅值取1时，增益系数分别取0.18、0.35、0.95、1.95、2.35时对应的SR的变化曲线示意图。从图中可以明显看出，当增益系数取不同值时，SR值收敛到同一值时所需的迭代次数是不同的。增益系数取值过小时，收敛速度慢，例如当=0.18时，迭代1000次，SR在0.6左右;增益系数太大，前期收敛速度快，

但后期容易陷入局部极值，例如当=2.35时，SR只收敛到0.6左右且曲线波动较大;而当=0.95时就比较理想了，既保证了收敛速度又保证了校正效果。另外，从图中还可以看出，随着增益系数的增大，SR曲线图出现了抖动，而且值越大，抖动越明显。

图5给出了当增益系数为0.95时，不同的扰动幅值对应的SR变化曲线。从图中可以看出，扰动幅值从0.1到0.5再到1.0时，SR的收敛速度逐渐加快;而从1.0到1.5再到2.0时，SR的收敛速度逐渐减慢。

从以上分析可以看出，对于扰动幅值和增益系数而言，只要其中一个固定，另一个就会有一个合适的变化范围。所以在具体应用中只要固定一个而调节另一个就行了。

图5 不同扰动幅度时的斯特列尔比的变化曲线

图6 增益分段与增益固定仿真结果的比较

2.2 分段增益

由以上分析可以看出，对于扰动幅值固定时，SR的收敛速度随着增益的改变而变化。在校正初期，畸变较大，所以需要较大的增益以实现对畸变的快速校正;在校正中后期，选择较小的增益可以获得更好的校正效果。所以本文提出了分段增益的方法，即在校正过程中不断改变增益大小，来获得较快的收敛速度以及较好的校正效果。在校正过程中，将增益大小分为N段(即增益从大到小取N个不同的值)，算法每迭代1000/N次，增益就减小0.25(文中初始增益固定为2.15)。图6表示增益固定时(取0.95)SR的变化情况与增益分段(N=6)时SR的变化曲线的对比。

从图中可以看出，当SR到达0.8时，分段增益相对于固定增益有一定的优势，这是因为在校正前期分段增益有较大的增益，保证了收敛速度;而在中后期分段增益具有较小的增益，从而保证了校正效果。

3 结语

本文介绍了随机并行梯度下降算法的基本原理，并分析了影响算法收敛速度的两个主要因素——扰动幅值和增益大小:固定增益大小，扰动幅值就会存在最优取值范围;固定扰动幅值，增益也存在相应的最优取值范围。最后论文介绍了优化算法的一种方法:分段增益，并仿真验证了通过这种方法可以有效的改善校正效果。

［1］Robert K.Tyson.Principle of Adaptive Optics［M］.San Diego:Academic Press，1991.

［2］Richard A.Muller，Andrew Buffington.Real time correction of atmospherically degraded telescope images through image Sharpening［J］.J.Opt.Soc.Am.，1974，64(9):1200-1210.

［3］姜文汉，黄树辅，吴旭斌.爬山法自适应光学波前校正系统［J］.中国激光，1988，15(1):17-21.

［4］张雨东，姜文汉.像锐化自适应光学系统中的多极值问题［J］.中国激光，1990，17(4):193-197.