磁电弹性材料杂交应力有限元的应力模式

卿光辉，宋佳琳

（中国民航大学航空工程学院，天津300300）

磁电弹性材料杂交应力有限元的应力模式

卿光辉，宋佳琳

（中国民航大学航空工程学院，天津300300）

首先推导了磁电弹性材料的杂交应力有限元列式，然后在假设单元边界位移场的基础上，根据等函数法进一步推导了磁电弹性材料的3D-8节点和3D-20节点杂交应力有限元的广义假设应力矩阵。为磁电弹性材料杂交应力有限元模型的构建提供了理论基础。最后以3D-8节点杂交应力有限单元为例，对磁电弹性材料层合板进行了有限元分析，数据显示所得结果具有较高的计算精度。

磁电弹性材料；杂交应力有限元；等函数法；广义应力矩阵

杂交元应力有限元较位移有限元具有明显的优越性，如可以克服平面单元的剪切自锁现象和三维单元的不可压缩现象。另外杂交应力有限元可以根据所研究问题的实际情况假设不同的应力场，以便构建满足具体要求的有限元模型。基于这些优点，目前杂交应力有限元方法已得到了广泛的应用和发展[1-6]，且其应用逐渐由普通材料的有限元分析扩展到特殊材料和智能材料的有限元分析中。

在构造杂交应力有限元模型的过程中，必不可少且最重要的一项工作，就是如何构造一个合适的应力场。应力场的构建一直以来就是一个难题，因此，激起了诸多科学家的研究热情。目前，已有多种构造应力场的方法，如群理论[7]、应力模式优化方法[8]、本征函数法[9]、等函数法[10]等，但都是针对于普通弹性材料。本文主要根据等函数方法推导了磁电弹性材料的广义应力矩阵，为磁电弹性材料杂交应力有限元模型的构建提供了理论基础。

1 磁电弹性材料杂交应力有限元

基于广义弹性理论，从一般材料的推导方法出发，磁电弹性材料杂交应力有限单元的广义应力场为

其中：P，β分别为广义假设应力矩阵和应力参数向量，Pi，βi（i=1，2，…，M）分别为相应的应力模式和应力参数；此外，σ={σ D B}T为广义应力场，σ为弹性应力场，D为电位移，B为磁感应强度。

同理，磁电弹性材料单元的假设广义位移场可为

其中：N =[N1I5N2I5…NnI5]为相应的插值函数，n为节点数，I5为5阶单位矩阵，Ni为广义单元位移插值函数；u ={u Φ Ψ}，u为位移场，Φ为电势，Ψ为磁势；q ={qdqeqm}T，qd为节点位移向量，qe节点电势向量，qm节点磁势向量。

根据磁电弹性材料的修正Reissner-Hellinger广义变分原理，从而得到单元刚度矩阵和单元应力场所对应的应力参数，分别为

2 磁电弹性材料假设应力场

2.1 三维八节点等参单元

3D-8节点等参单元，如图1所示。广义单元位移插值函数

图13 D-8节点等参单元Fig.1Isoparametric element of 3D 8-node

磁电弹性材料杂交有限元的广义位移场可为

其中：Λ={I5ξI5ηI5ζI5ξηI5ξζI5ηζI5ξηζI5}

其中：ai，bi，ci，κi，χi（i=1，2，…，8）分别为与节点位移、节点电势和节点磁势有关的参数。利用几何方程可得应变多项式为

其中为磁电弹性材料的广义刚度矩阵；γ={γ E H}T为广义应变向量（其中γ为弹性应变向量；E={EξEηEζ}T为电场强度向量；H={HξHηHζ}T为磁场强度向量）。

对于正交各向异性磁电弹性材料

式（9）为运用等函数法推导的基于磁电弹性材料的杂交应力有限元广义假设应力矩阵，若将磁电参数及其耦合参数设为0，便可得到基于普通弹性材料的杂交应力有限元假设应力矩阵，其结果与文献[11]结果相同。

2.2 三维二十节点单元

3D-20节点等参单元，如图2所示。广义位移插值函数分别有：

对于8个角节点

图23 D-20节点等参单元Fig.2Isoparametric element of 3D 20-node

根据2.1节所示步骤式（4）～式（6），可以推导出3D-20节点杂交单元的应力参数和广义应力矩阵分别为：

广义应力参数向量为

其中：zm×n为m×n阶0矩阵，In为n阶单位矩阵。

3 算例

为了验证所得结果的有效性，现仅以3D-8节点杂交应力有限单元为例（网格划分8×8），对磁电弹性材料层合板进行有限元分析。在算例中的符号表示为：B为由压电材料（BaTiO3）构成的材料层；F为由磁致伸缩材料（CoFe2O3）构成的材料层。层合板的尺寸为Lx=Ly=1 m，整体厚度为h=0.3 m，每层厚度相等为hi=0.1 m。本文考虑了两种铺层顺序分别为B/F/B和F/B/F。在算例分析中，层合板的四边简支，上表面所施加载荷为：p =σ0sin[px]sin[qy]，其中σ0=1N/m2，p=π/ Lx，q=π/Ly，下表面假设为无外力边界。表1、表2所示材料参数由文献[12]给出。

通过计算得到了点（x，y）=（0.75Lx，0.25Ly）处的物理量Φ、Ψ、σz沿厚度方向的变化情况，并且由图1～ 图3分别给出了本文计算结果与文献[12]的数据对比情况。

表1 压电材料（BaTiO3）的材料参数Tab.1Material coefficients of piezoelectric BatiO3（Cijin 109N/m2，eijin C/m2，εijin 10-9N/m2，and μijin 10-6N/m2）

表2 磁致伸缩材料（CoFe2O3）的材料参数Tab.2Material coefficients of magnetostrictive CoFe2O3（Cijin 109N/m2，qijin C/m2，εijin 10-9N/m2，and μijin 10-6N/m2）

图3 电势（V）Fig.3Electric potential（V）

图4 磁势（C/s）Fig.4Magnetic potential（C/s）

图5 Z方向正应力（C/s）Fig.5Z-normal stress（N/m2）

4 结语

本文首先推导了磁电弹性材料杂交应力有限元列式。然后，在假设单元边界位移的基础上，根据等函数法进一步推导了磁电弹性材料的3D-8节点和3D-20节点杂交应力有限单元的广义应力矩阵。本文所得应力矩阵可以作为相应单元的初始应力矩阵。在应用中可以根据实际情况从中选择合适的应力模式构造所需的应力矩阵，从而为相应杂交应力有限单元的构造提供依据。最后以3D-8节点杂交应力有限单元为例，对磁电弹性材料层合板进行了有限元分析，数据显示所得结果具有较高的计算精度。

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（责任编辑：党亚茹）

Stress modes in hybrid stress finite elements of magneto-electro-elastic materials

QING Guang-hui，SONG Jia-lin
（College of Aeronautical Engineering，CAUC，Tianjin 300300，China）

A hybrid stress finite element formulation for magnetoelectro-elastic materials is derived and then on the basis of the boundary displacement field assumed previously，the generalized assumed stress matrixes of 3D-8 nodes hybrid stress finite element and 3D-20 nodes hybrid stress finite element are derived by employing the iso-function method.Thus it provides the theoretical basis for establishing the hybrid finite stress element model of magneto-electro-elastic materials.Finally，taking the 3D-8 nodes hybrid stress finite element as example，a finite element analysis is performed to a magneto-electro-elastic material laminates and a perfect result is obtained.

magneto-electro-elastic material；hybrid stress finite element；iso-function method；generalized stress matrix

O242.21

A

1674-5590（2013）03-0058-04

2012-06-08；

2012-10-10

卿光辉（1968—），男，湖南新化人，教授，博士，研究方向为复合材料结构力学.