逆用不等式组解集巧解题

成文霞

不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.我们可以借助数轴确定一个不等式组的解集.不妨设a>b，则：（1） 不等式组x>a，x>b的解集为x>a；（2） 不等式组xb的解集为ba，x

一、 根据不等式组的解集，确定待定系数的取值范围

例1 （2012湖北鄂州）若关于x的不等式■>■，■<0的解集为x<2，则a的取值范围是_______.

【分析】先解这个不等式组，可得x<2，x<-a.再根据原不等式组的解集为x<2，并逆用“同小取小”可以确定-a>2或-a=2，即-a≥2，则a的取值范围是a≤-2.

【解答】a≤-2.

【点评】本题根据所给不等式组的解集，逆用解集的意义，确定不等式组中两不等式解集之间的关系，从而确定待定系数的取值范围.

例2 （2012湖北随州）若不等式x-b<0，x+a>0的解集为2

A. -2，3 B. 2，-3 C. 3，-2 D. -3，2

【分析】先解不等式组，得x-a.再根据原不等式组的解集为2

【解答】A.

【点评】本题既考查了同学们对不等式组解法的掌握，又考查了同学们是否会逆用不等式组的解集构造关于待定系数a、b的方程，通过解方程求得a、b的值.

二、 根据不等式组有解，确定待定系数的取值范围

例3 （2012湖北襄阳）若不等式组1+x>a，2x-4≤0有解，则a的取值范围是（ ）.

A. a≤3 B. a<3 C. a<2 D. a≤2

【分析】先解不等式组，得x>a-1，x≤2.再根据原不等式组有解，并逆用“大小小大取中间”可以确定a-1<2，则a的取值范围是a<3.

【解答】B.

【点评】本题根据所给不等式组的解集，逆用解集的意义，确定不等式组中两不等式解集之间的关系，从而确定待定系数的取值范围.

三、 根据不等式组的解集，确定符合条件的不等式组

例4 已知a，b为实数，则解可以为-2

A. ax>1，bx>1. B. ax>1，bx<1. C. ax<1，bx>1. D. ax<1，bx<1.

【分析】由不等式组的解集是-2

当a=■或a=-■时，排除A、B；

当b=■或b=-■时，排除C；

只有当a=■，b=-■或a=-■，b=■时，选项D中不等式组的解集是-2

【解答】D.

【点评】本题能够较好地训练同学们的逆向思维，由不等式组的解集来确定符合条件的不等式组.解答这类问题的关键在于首先从解集确定未知数系数的取值或取值范围，进而应用不等式的性质确定符合条件的不等式或不等式组.

四、 根据不等式组的特殊解，确定待定系数的取值范围

例5 若关于x的不等式x-m<0，7-2x≤1的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）.

A. 6

C. 6≤m≤7 D. 6

【分析】x-m<0， ①7-2x≤1.②解不等式①，得x

因此不等式组的解集是3≤x

由于这个不等式组的整数解有4个，则这些整数为3，4，5，6，所以m的取值在6与7之间，且不能为6，但可以为7，即6

【解答】D.

【点评】本题综合考查了含有参数的一元一次不等式组问题，需要同学们先求得不等式组的解集，再根据不等式组的整数解灵活确定出参数的取值范围.

五、 构造不等式组，确定待定系数的取值范围

例6 （2011山东日照）若不等式2x<4的解都能使关于x的一次不等式（a-1）x

A. 1

【分析】由2x<4解得x<2.由于不等式2x<4的解都能使关于x的一次不等式（a-1）x1，且x<■.则有■≥2，解得：a≤7.综合可知，1

【解答】A.

【点评】同学们应巧妙抓住两个不等式解集之间的关系，从而确定这两个不等式解集的不等关系，并应用不等式的性质构造关于待定系数的不等式组解决问题.