“一元一次不等式”知识点

王竞进

小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每本笔记本2元，她买了4本笔记本，那么她最多还可以买几支笔？怎么解答这类问题呢？在这个问题中，隐含着买笔和笔记本所花的钱与准备的钱之间具有不相等的数量关系.与方程类似，不等式是刻画现实世界中量与量之间不等关系的有效模型.一元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具，是学习其他相关数学知识的工具.学习时，应关注以下几个方面：

一、 正确理解基本概念

1. 不等式解与不等式解集的概念

能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.如：x=3.5、5、6、10.2等大于3的实数都是不等式x-3>0的解；x=-1、0、2、3、3.5、-5、-6等小于4的实数都是x-4<0的解.一个含有未知数的不等式的解的全体叫做不等式的解集.因此，不等式的解集包含了不等式的所有解，解集中的任何一个数都是不等式的一个解.

例1 下列说法中正确的是（ ）.

A. x=2是不等式x+2>3的解 B. x=2是不等式x+2>3的唯一解

C. x=2不是不等式x+2>3的解 D. x=2是不等式x+2>3的解集

【解答】A.

【点评】弄清不等式的解及解集的区别，是解本题的关键.不等式的解可以有无数个，一般是某个范围内的所有数.不等式中的未知数取解集中的任何一个值时，不等式都成立；不等式中的未知数取解集外的任何一个值时，不等式都不成立.

2. 一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式.这个不等式必须同时满足3个条件：（1） 只含有一个未知数；（2） 含未知数的式子是整式；（3） 未知数的次数是1.这3个条件缺一不可.如：2x-（4x+1）>3、5y+2≤3（y-1），都是不等式，而x2-3x+2<0、y+■<2都不同时满足上述的3个条件.反过来，如果（a-1）x+3>0是关于x的一元一次不等式，则a必须具备的条件是a-1≠0，即a≠1.

3. 一元一次不等式组的概念

小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为25 cm，面积不小于500 cm2，试确定这个长方形宽的长度范围.在这个问题中具有两个不等关系：长方形的相片框架的长总大于宽，其面积不小于500，因而可以得到两个不等式：x<25、25x≥500，再联立这两个不等式，记作x<25，25x≥500，从而组成一个关于x的不等式组.像这样，由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组.根据概念，可以知道组成一个不等式组的条件有（1） 含有同一个未知数，（2） 几个不等式是一次不等式.如：2x-4<6，5（x-2）+3>-3x+1，2x+1<3（3-x），■（x-1）-1>x+■都是一元一次不等式组，而x2-4x<5，4（x-1）-3>-2x+1，■-13（x-1）都不是一元一次不等式组.

4. 不等式组的解集概念

我们知道一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集，那么一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，就称为这个一元一次不等式组的解集.如x<3，x<1中两个不等式解集的公共部分为x<1，则其解集为x<1；x>3，x>1中两个不等式解集的公共部分为x>3，则其解集为x>3；x<3，x>1中两个不等式解集的公共部分为13，x<1中两个不等式解集的公共部分不存在，则其解集为无解.我们可以用一句口诀来概括其中的规律：同大取大，同小取小；大小小大取中间，大大小小便无解.

二、 了解不等式解集的表示方法

1. 用不等式表示 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解为某个范围，这个范围可以用一个具体的、简单的不等式来表示.如：不等式x+3>-1的解集为x>-4；不等式2x+1<3的解集为x<1.

2. 用数轴来表示 用数轴可以直观地表示出一个不等式的解集.表示时，必须注意不等式的类型.小于a则在数轴上表示a的点的左边，大于a则在数轴上表示a的点的右边，且表示a的点处是一个空心；如果是“小于或等于a”或“大于或等于a”时，则表示a的点处应该是一个实心.

例3 在数轴上表示下列不等式的解集：

（1） x<3； （2） x≥3.

【解答】（1） 在数轴上表示x<3为： ；

（2） 在数轴上表示x≥3为： .

【点评】在数轴上表示不等式时，首先在数轴上找到表示不等号右边数的点，再根据“小于向左画、大于向右画、无等号画空心、有等号画实心”用相应的线在数轴上表示出不等式的解集.

三、 理解不等式的性质，掌握一元一次不等式的解法

不等式的性质有两个.不等式的性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.其中特别要注意的是：在不等式的两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变.

和一元一次方程的解法类似，解一元一次不等式的基本步骤是：（1） 去分母；（2） 去括号；（3） 移项；（4） 合并同类项；（5） 系数化为1.逐步将不等式转化为x>a（x≥a）或x

四、 掌握解一元一次不等式组的一般步骤

解一元一次不等式组的一般步骤大致为：先分别求得不等式组中各个不等式的解集，再求出这几个不等式解集的公共部分，从而确定不等式组的解集.

如：解不等式2x-4<6，5（x-2）+3>-3x+1，先分别求得不等式2x-4<6的解集为x<5，不等式5（x-2）+3>-3x+1的解集为x>1，再把它们在如图所示的数轴上表示出来，因此，这个不等式组的解集为1

五、 正确理解题意，找出不等关系，列出一元一次不等式，解决实际问题

和列一元一次方程解决实际问题类似，在解答具有不等关系的实际问题时，往往先列出不等关系，再用含有未知数的代数式分别表示相关数量，再根据不等关系列出一元一次不等式，进而解出不等式，写出答案.

例4 某单位共有36位工作人员，为改善办公设备，提高工作效率.单位准备为每位工作人员配备一台手提电脑. 现有A、B两种型号的手提电脑供选择.根据预算，共需资金145 000元.购买一台A型电脑和两台B型电脑共需资金11 840元；购买两台A型电脑和一台B型电脑共需资金12 040元.

（1） 购买一台A型电脑和一台B型电脑所需的资金分别是多少元？

（2） 问该单位最多能购买A型电脑多少台？

【分析】本题中第（2）题，隐含着一个不等量关系：购买A、B两种型号的手提电脑的费用和≤总资金.因此，可以建立关于所购买商品的价格为未知数的不等式解决问题.

【解答】（1） 设A型电脑x台，B型电脑y台，根据题意，列方程组，得：

x+2y=11 840，2x+y=12 040.解得：x=4 080，y=3 880.

答：购买一台A型电脑和一台B型电脑所需的资金分别是4 080元和3 880元.

（2） 设该单位能购买A型电脑a台，根据题意，得：

4 080x+3 880（36-a）≤145 000，解得a≤26.6.

所以该单位最多能购买A型电脑26台.

【点评】本题能够融二元一次方程组与一元一次不等式的应用于一体，考查同学们分析问题、解决问题的能力.解答这类问题的关键是理解题意，找到题目的等量关系和不等量关系分别列出方程组和不等式组求解.对于问题中出现的“至少”、“至多”、“不少于”等等，往往隐含着不等关系，需要建立不等式进行解答.