如何理解二元一次方程（组）的有关概念

杨波

二元一次方程组是刻画现实世界和实际生活问题的一个有效数学模型，是初中数学的重要组成部分. 它是在我们掌握了一元一次方程有关知识的基础上展开的，也是我们今后进一步学习方程和一次函数、二次函数的基础.要学好二元一次方程组，必须深刻理解二元一次方程（组）的有关概念.

一、 二元一次方程的概念

含有2个未知数并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.二元一次方程与我们之前学过的一元一次方程一样都是整式方程，方程中的未知数叫“元”，一个方程有几个未知数，就称这个方程为几元方程.方程中含未知数的项的最高次数叫做方程的次数，最高次项是几，就称这个方程为几次方程.

例1 判断下列方程是不是二元一次方程.

（1） 2x-3y+2z=7；（2） ■+y=-9；（3） xy-1=5；（4） x2-4y=12.

【解析】（1） 二元一次方程必须也只能含有2个未知数，方程2x-3y+2z=7中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程.它是三元一次方程.

（2） 二元一次方程是整式方程.方程■+y=-9中，虽然它含有2个未知数，但■不是整式（以后我们会学到，它叫分式），所以它不是二元一次方程.它是分式方程.

（3） 二元一次方程中的“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是未知数的次数.方程xy-1=5中，虽然含有2个未知数，并且每个未知数的次数都是1，但xy这个单项式的次数是2次，所以它不是二元一次方程.它是二元二次方程.同样，方程x2-4y=12中，未知数x的最高次数是2，所以，它也不是二元一次方程，而是二元二次方程.

例2 若方程（m2-9）x2-（m-3）x+2y=2是关于x、y的二元一次方程，则m的值是（ ）.

A. ±3 B. 3 C. -3 D. 9

【解析】在此方程中，（m2-9）x2的次数是2，根据二元一次方程的概念，这一项不能存在，所以（m2-9）x2=0，即m2-9=0，m=±3.又因为当m=3时，（m-3）x=0，此时方程中就没有含x的项了，所以（m-3）x≠0，即m≠3，所以m=-3，应选C.

二、 二元一次方程（组）的概念

含有2个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组.与一元一次方程的概念一样，这也是个描述性的定义.具体理解要注意以下几点：

1. 组成方程组的各个方程不必都同时含有2个未知数.如x+y=35，x+1=7也是二元一次方程组，尽管第二个方程是一元一次方程.

2. 方程组中只能含有2个未知数.如x+y=3，x+z=5虽然含有2个二元一次方程，但当中含有3个未知数，因此，它不是二元一次方程组，而是三元一次方程组.

3. 二元一次方程组不一定是由2个二元一次方程合在一起的.方程可以超过2个，定义中的“两个一次方程”是特指，因为它最常见.如x+y=3，2x-3y=8，3x-y=2虽然是由3个二元一次方程组成，但是方程组中只有2个未知数，因此，它也是二元一次方程组.

三、 二元一次方程的解

适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.理解这个概念要注意以下两点：

1. 二元一次方程的“一个解”是指“一对数”，即是适合于方程的一对未知数的值.如x=2，y=3是方程x+y=5的一个解，而不能说是“两个解”或“一组解”.也就是说只有当x=2时，求出y=3，并且写成x=2，y=3时才是方程x+y=5的一个解.

2. 任何一个二元一次方程都有无数个解.如在x+y=5中，当x=1时，可以代入求出y=4，这时x=1，y=4也是方程x+y=5的一个解.这个方程的解我们还可以列出许多，比如x=-1，y=6，x=1.5，y=3.5等.事实上，每当x取一个值，y都会有一个唯一的值与它相对应.当然，如果我们给未知数的取值加上限制条件，那么方程就没有无数个解了.如x+y=5，如果我们加上“x、y都取正整数”的条件限制，那么此方程只有如下4个解：x=1，y=4，x=2，y=3，x=3，y=2，x=4，y=1.

四、 二元一次方程组的解

二元一次方程组中的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.理解这个概念要注意以下两点：

1. 方程组的各个方程中，同一未知数的值必须相同.即符合第一个方程的“一个解”也是第二个方程的“一个解”，此时，这个解就是此方程组的解.但是，符合第一个方程的“一个解”不一定是第二个方程的解，这就需要我们在检验时要把解同时代入到两个方程去检验才能作出正确的判断.

例3 下列各对数是二元一次方程组x+3y=11，3x+2y=12的解的是（ ）.

A. x=3，y=3. B. x=5，y=2. C. x=4，y=0. D. x=2，y=3.

【解析】根据二元一次方程组的解的概念，我们需要把各组数逐个代入到每个方程中才能正确地作出判断.x=3，y=3既不是第一个方程的解也不是第二个方程的解；x=5，y=2是第一个方程的解，但不是第二个方程的解；x=4，y=0是第二个方程的解，但不是第一个方程的解；x=2，y=3既是第一个方程的解，也是第二个方程的解，是公共解.因此选D.

2. 二元一次方程组的解有3种情况：唯一解，无数个解，无解.对于二元一次方程组a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2.

① 当■≠■时，方程组有唯一解；

② 当■=■=■时，方程组有无数解；

③ 当■=■≠■时，方程组无解.

例4 判断下列二元一次方程组的解的情况.

（1） x+2y=5， ①2x+4y=10.② （2） x+2y=5， ①2x+4y=12.②

【解析】（1） 方程2x+4y=10两边同时除以2，得到方程x+2y=5，与方程①完全相同，此时，不管给出方程①的任何一个解，对于方程②都是同样的.此时，这个方程组有无数解.

（2） 方程2x+4y=12两边同时除以2，得到方程x+2y=6，与方程①相比，两个方程等号的左边完全一样，而右边却不同.对于代数式x+2y，不可能同时有2个不同的结果.所以，这个方程组无解.

总之，我们在理解这些基本概念时，最好要在具体实例的基础上去深刻理解，只有这样，才能做到概念清晰，解决问题时才能判断准确、迅速，从而夯实自己的数学基础.