初中数学教学中的数形结合思想

杨金颖

“数形结合”是初中数学中的一种重要的思想方法，“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。数是数量关系的体现，形是空间形式的体现，两者是对立统一的，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，又常借助于图形间隐含的数量关系去求解。即将数与形灵活地转换，运用彼此间的相互联系和作用，去有效地探求问题的解答，我认为这就是数形结合的思想方法。华罗庚教授曾精彩地诠释：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”由此可见，数形结合的巧与妙，数形结合的思想方法能扬数之长，取形之优，使得数量关系与空间形式珠联壁合，相映生辉。因此在数学教学中，注意渗透这方面的思想，引导学生要善于将两者巧妙地结合起来分析问题，让学生在不断感悟中开阔和发展思维，为达到快速、有效地解决问题奠定良好的基础。

数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终。数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：

（1）建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型）；

（2）建立几何模型（或函数图象）解决有关方程和函数的问题；

（3）与函数有关的代数、几何综合性问题；

（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点。如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。

数形结合的思想方法，不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。

教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对数形结合思想的的主动应用。

一、渗透数形结合的思想，养成用数形结合分析问题的意识

每个学生在日常生活中都具有一定的图形知识，如绳子和绳子上的结、刻度尺与它上面的刻度，温度计与其上面的温度，我们每天走过的路线可以看作是一条直线，教室里每个学生的坐位等等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的形与数相结合迁移到数学中来，在教学中进行数学数形结合思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数与数轴，一对有序实数与平面直角坐标系，一元一次不等式的解集与一次函数的图象，二元一次方程组的解与一次函数图象之间的关系等，都是渗透数形结合思想的很好机会。

例1：绝对值大于2小于6的整数有哪些？

分析：根据绝对值的几何意义，借助数轴，可以找到满足条件的数。

解：由绝对值的意义得：

绝对值大于2小于6的整数有±1、0、±2、±3、±4、±5。

例2：解不等式|X-3|<6

分析：根据绝对值的几何意义，可将本题看成数轴上总X到3的距离小于6，借助数轴可找到满足条件的X的值。

结合探索规律和生活中的实际问题，反复渗透，强化数学中的数形结合思想，使学生逐步形成数学学习中的数形结合的意识。并能在应用数形结合思想的时候注意一些基本原则，如是知形确定数还是知数确定形，在探索规律的过程中应该遵循由特殊到一般的思路进行，从而归纳总结出一般性的结论。

二、学习数形结合思想，增强解决问题的灵活性，提高分析问题、解决问题的能力

在教学中渗透数形结合思想时，应让学生了解，所谓数形结合就是找准数与形的契合点，根据对象的属性，将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，就成为解决问题的关键所在。

数形结合的结合思想主要体现在以下几种：

（1）用方程、不等式或函数解决有关几何量的问题；

（2）用几何图形或函数图象解决有关方程或函数的问题；

（3）解决一些与函数有关的代数、几何综合性问题；

（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。

例3、已知一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0），x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx+b<0的解集是（）

A、x<0 B、x>0 C、x<1 D、x>1

X -2 -1 0 1 2 3

y 3 2 1 0 -1 -2

分析：从表中选取两对对应值x=0，y=1；x=1，y=0作为点的坐标，在平面直角坐标系内画出y=kx+b的图象，不等式kx+b<0的解集就是直线y=kx+b在x轴下方部分所对应的自变量x的取值，由图可知，当y<0时，x的取值为x>1，所以不等式kx+b<0的解集为x>1，故选D。

解此题的关键是将它们对应的形与数结合起来，从形的角度看，是求直线在x轴下方所对应的自变量的取值范围，从数的角度看，是求不等式的解集。

数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在学生学习过程中，可以激发学生学习数学的兴趣。利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握数形结合的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。