部分非线性回归模型的非线性度量

肖 兵



部分非线性回归模型的非线性度量

肖 兵*

(湖南文理学院 数学与计算科学学院, 湖南 常德, 415000)

利用传统曲率理论度量回归模型的非线性程度, 分析其缺陷, 并对几类实例模型进行探讨, 进而提出基于局部近似的新度量方法, 在一定程度上弥补了传统方法的缺陷; 还研究了模型参数基于局部线性近似的最小二乘估计的渐进性质及其求法中迭代初值的选取和改进方向.

非线性度量; 固有曲率; 参数效应曲率; 局部曲率

本文探讨部分非线性回归模型:

各类回归模型中严格的线性模型并不多见, 在实际运用中会遇到大量的非线性参数的情形, 此处非线性是指模型函数关于未知参数的一阶导数仍然是该未知参数的一次或一次以上函数, 但关于非线性回归模型的研究成果有限且进展缓慢. 对于非线性模型的研究通常要解决2方面的问题, 一是模型函数的求解, 目前许多文献已基本解决此方面的问题[1—2];二是模型的非线性程度的度量, 近年来此问题还未得到比较一致的或比较满意的结论与方法, 基本上都是利用对模型函数的线性近似估计理论及传统的几何曲率理论或偏差理论来进行探讨. 本文先用固有曲率及参数效应曲率相关理论进行研究.

1 部分非线性模型非线性度量整体曲率法

非线性回归模型的非线性可分为2部分: 固有非线性, 取决于解轨迹的曲率; 参数效应非线性, 基于参数线在解轨迹的切平面上的投影一般不是直线, 不互相平行, 参数线间也不是等距的, 这里参数线是指参数空间的参数直线映射到期望曲面中的曲线. 以下根据微分几何中的曲率理论探讨模型(1)的非线性度量.

该曲线称为提升线. 由于

这里最大曲率反映了模型非线性程度最强的方向, 当然还可以类似地定义沿各方向的平均曲率, 它反映了平均意义上的模型非线性程度.

定理1 模型(1)的最大固有曲率为:

证明过程略(文献[1]中有类似的证明).

探究1 Fieller—Creasy模型:

2 部分非线性模型的局部非线性度量

定理3 参数变换不改变局部曲率的值.

利用局部曲率来改进文献[1—5]中使用的迭代方法.

相对来说, 它显示的是较弱的非线性程度, 这就充分体现了利用局部曲率度量回归模型非线性程度的优越性所在.

需要指出的是, 本文是利用(7)式来定义模型(1)的局部曲率, 事实上亦可定义平均意义上的局部曲率. 特别的, 可利用立体阵这一强有力的工具来定义局部曲率立体阵, 可以推测, 局部曲率立体阵相对于文献[6—7]中的曲率立体阵应具有足够的优越性.

[1] 高集体, 洪圣岩. 部分非线性模型中估计的收敛速度[J]. 数学学报, 1995, 38: 658—669.

[2] 赵慧秀. 带有线性约束的指数族非线性回归模型[J]. 南京师大学报: 自然科学版, 2010, 33(1): 1—5.

[3] Williams E J. Exact fiducial limits in nonlinear estimation[J]. J R statistic soc, 1962, 1324: 125—139.

[4] 肖兵. 一列非线性回归模型的非线性度量[J]. 常德师范学院学报, 2002, 14(4): 18—20.

[5] 赵慧秀. 带有线性约束的指数族非线性回归模型置信域的曲率表示[J].曲阜师范大学学报, 2010, 36(1): 38—40.

[6] 邢诚. 引入模型误差的非线性回归模型[J]. 海洋测绘, 2009, 29(3): 1—3.

[7] 谢振东. 带约束非线性回归模型参数的广义LS 估计的存在性[J]. 统计与决策, 2008(11): 148—149.

A measure of non-linearity of partially non-linear regression models

XIAO Bing

(Mathematics and Computational Science, Hunan University of Artsand Science, Changde 415000, China)

Based on classical methods of the non-linearity property of the non-linearity regression model, analysis of its limitation is made. This paper promotes a new method about local approximation through the discussion for the convergence of some models, which remedy the defect of the traditional ways. The asymptotic property of least square estimator and the method of iterative initial value selectionare studied. And a new trend for the method to measure the model´s non-linearity is given.

measure of non-linearity; intrinsic curvature; parameter-effects curvature; local curvature

10.3969/j.issn.1672-6146.2013.01.003

O 212.1

1672-6146(2013)01-0010-04

email: xiaobing71@163.com.

2012-12-05

湖南省自然科学基金资助项目(12JJ6004)

(责任编校:刘晓霞)