考虑启动压力梯度的新的低渗气藏指数式产能方程

低渗气藏具有孔隙度低、渗透率低、含水饱和度高、孔隙结构复杂等特点，其渗流规律与常规气藏存在较大的差异［1～5］。许多学者通过实验研究证实了低渗气藏具有启动压力梯度，并提出了一些启动压力梯度的计算方法［6～10］。分析低渗气井产能及压力时，启动压力梯度对气井无阻流量和压力分布有较大的影响。目前，国内学者［11～14］提出了一些低渗气井产能分析方法，这些分析方法大多基于二项式产能方程，最后通过最优化方法对参数进行求解。笔者在气体非线性渗流指数式方程的基础上，考虑启动压力梯度的影响，推导出了新的气井指数式产能方程和压力分布公式。通过实例分析，该方法具有重要的理论意义和实际意义。

1 低渗气井指数式产能方程的推导

对于气藏，启动压力梯度Gps越大，渗流阻力越大，气井产量越小，压降越快，这是显而易见的，也是一个正向思维过程。然而，研究气井产能时，由于产能测试数据是确定的，而启动压力梯度一般是未知的，此时，研究的思路正好相反，因此，气井产量、压力和启动压力梯度之间的关系不再遵循上述规律。下面推导了考虑启动压力梯度时的指数式产能公式及压力分布公式，得到了产量、压力、压力梯度随启动压力梯度Gps的变化规律。

1935年，Rawlins和Schellhardt提出了产能试井分析的经验关系式，该关系式采用平方压力表示，是一个指数形式的产能方程，该次研究将在该产能方程的基础上考虑启动压力梯度的影响。

式中：Q 为流 量，104m3／d；C 为 产 能 曲 线 常 数，1；pe、pwf分 别 为 边 界 压 力 和 井 底 流 压，MPa；n 为 渗 流指数，1。

下面推导用拟压力表示的考虑启动压力梯度的指数式产能方程，该方程适用于所有压力范围。对于平面径向流，描述气体非线性稳定渗流的指数式形式可以表示为［15］：

式中：ρg为气体密度，kg／m3；v为渗流速度，m／s；C′为产能曲线常数，1；为压力梯度，MPa／m。

考虑到低渗气藏渗流时存在启动压力梯度，式（2）可以改写成：

令p′＝p－Gpsr，代入式（3）可得：

又：

由于Gps相对较小，故认为p′≈p，所以

式中：Gps为启动压力梯度，MPa／m；r为波及半径，m；Tsc为地面标准情况下的温度，K；Zsc为地面标准情况下气体偏差因数，1；ρsc为地面标准情况下气体密度，kg／m3；p为地层压力，MPa；T为气藏温度，K；Z为气藏条件下气体偏差因数，1。

引入以下变换，其形式与气体拟压力的定义是一致的：

式中：Ψ（p′）为p′对应的拟压力，MPa2／（mPa·s）；p′o为某一参考点下的压力，MPa为平均地层压力下气体黏度，mPa·s为平均地层压力下气体偏差因数，1。

将式（6）、（7）代入式（4）得：

同时根据气体质量渗流速度的定义，有：

式中：qm为质量流量，104kg／d；A 为面积，m2；r为半径，m；h为气层厚度，m。

将式（9）代入式（8），整理得：

式（10）两边代入边界条件并积分有：

整理式（11）得：

将式（7）代入式（12）可得：

在式（11）中，改变积分上限可得：

用式（11）与式（14）相除，可得地层压力分布公式：

整理式（15），可得：

式中：rw为井半径，m；re为边界距离，m；p′中间压力，其定义为p′＝p－λgr。

式（13）为推导的指数式产能方程，其形式与常规的产能方程是一致的。不同点在于式（13）考虑了启动压力梯度的影响，产能方程中的压力项由p变成了p′。式（16）为推导的地层压力计算公式，从公式中可以看出，影响地层压力的主要参数有启动压力梯度Gps、渗流指数n、波及半径r。

2 实例计算分析

已知某气井为低渗气井，pe＝27．34MPa，re＝1000m。该井进行了系统试井，测试基本数据见表1。

表1 某低渗气井产能测试基本数据

表2 不同启动压力梯度下的气井无阻流量

表2为不同启动压力梯度下的气井无阻流量数据。由表1和表2可以看出，启动压力梯度Gps增大时，产能曲线常数C略有减小，渗流指数n增大，气井无阻流量qaof增大。

图1为不同启动压力梯度情况下地层压力p与波及半径r之间的关系曲线。由图1可知，启动压力梯度Gps增大时，内外边界地层压力保持不变，其他地层处压降漏斗均不断加深，即相同r处的地层压力在不断减小；同时，在p－lgr曲线上，Gps越大，曲线的形态越呈现出“S”形。

表3反映了地层压力梯度Gp和启动压力梯度Gps间的关系：启动压力梯度Gps越小，井眼附近地层压力梯度变化越快；随着Gps的增大，井眼附近地层压力梯度变得相对平缓。由表3可知，当r＞10m之后，地层压力梯度几乎不变，其值和启动压力梯度近乎相等。

图1 不同启动压力梯度情况下地层压力与波及半径之间的关系曲线 （测试流量为5．782×104 m3／d）

表3 地层压力梯度分布 （测试流量为5．782×104 m3／d）

3 结 论

在Rawlines和Schellhardt指数式产能方程的基础上，考虑了启动压力梯度的影响，推导出了低渗气井的指数式产能预测公式及压力分布公式。最后通过实例分析，进一步说明了启动压力梯度与气井产能，地层压力及地层压力梯度之间的关系。

1）启动压力梯度与气井产能的关系：随着启动压力梯度Gps增大，产能曲线常数C略有减小，渗流指数n增大，气井无阻流量qaof增大。

2）启动压力梯度与地层压力的关系：启动压力梯度Gps增大时，除内外边界压力保持不变外，其他地层处压降漏斗均不断加深，即相同r处的地层压力不断减小，同时，在p－lgr曲线上，Gps越大，曲线形态越呈现出“S”形。

3）启动压力梯度与地层压力梯度的关系：启动压力梯度Gps越小，井眼附近地层压力梯度变化越剧烈；随着Gps的增大，井眼附近地层压力梯度变得相对平缓。在井壁附近很小的区域之外，地层压力梯度近乎等于启动压力梯度。

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