路面结构的土基应力应变近似计算

胡洪龙，谈至明

（同济大学 道路与交通工程教育部重点实验室，上海 201804）

土基竖向应力、应变是路面结构设计的重要指标.路面结构主要功能就是降低土基的竖向应力，确保土基不出现过量的变形.CBR（California bearing ratio）法即是以CBR值表征土基承载能力的一种沥青路面结构设计方法［1］.国内外学者对不同路面结构下的土基竖向应力、应变做了大量的研究.Franco Gomez-Ramirez M 等［2］根 据 NAPTF（National Airfield Pavement Test Facility）试验结果，对沥青道面下的土基顶面竖向应力、应变进行了分析.Warren等［3－4］通过建立试验路段测定了柔性基层沥青路面下的土基竖向应力大小.廖公云、朱海波等［5－6］对半刚性基层沥青路面下的土基竖向应力、应变进行了 实 测［5－6］.Child等［7］对 级 配 碎 石 基 层 水 泥混凝土路面下的土基顶面压应力进行测定，给出了荷载作用于水泥混凝土路面板不同位置时的土基竖向应力值［7］.此外，Khanal、林小平等［8－9］使用有限元方法，对不同路面结构下的土基竖向应力进行了研究.以上研究主要针对一些特定的路面结构，对土基竖向应力、应变与土基深度和路面结构参数的关系缺乏深入的分析和总结.因此，有必要对荷载作用下路面结构的土基竖向应力、应变大小及其在土基深度方向的变化规律进行深入的研究.

1 双层结构的土基应力、应变

双层结构及双圆荷载的示意图见图1.图1中，q0为均布荷载，δ为荷载圆半径，E1，E0分别为面层和土基模量，μ1，μ0分别为面层和土基的泊松比，h1为面层厚度，z为土基深度方向，x为与双圆荷载平行的方向，y为水平面上与双圆荷载垂直的方向.原点设于双圆间隙中心下的土基顶面O点.双圆荷载P＝50kN，q0＝0.7MPa，δ＝106.5mm.路面结构参数：h1＝0.1～0.7m，E1＝1 000～31 000MPa，E0＝20～200MPa，μ1＝0.15，μ0＝0.40.

图1 双层结构及外荷载示意图Fig.1 Two layers pavement structure and loads

1.1 土基顶面应力

双圆荷载作用下的土基顶面竖向最大压应力σz0位于双圆荷载间隙中点，其值可近似为面层刚度半径l与荷载圆半径δ之比l／δ的函数［10］：

式中：αz，βz为回归系数，层间光滑时，αz＝1.60，βz＝2.03，R2＝0.998；层间连续时，αz＝1.55，βz＝2.00，R2＝0.999.

柔性基层沥青路面结构的刚度半径l一般不小于0.20m，由式（1）可推出，双圆荷载作用下的土基顶面竖向最大压应力σz0不大于130kPa；半刚性基层沥青路面结构的刚度半径l一般不小于0.25m，由式（1）可得，双圆荷载作用下的土基顶面竖向最大压应力σz0不大于96kPa.

面层与土基层间光滑，土基顶面竖向压应力最大点的x方向应力σx0和y方向应力σy0与土基顶面竖向最大压应力σz0、土基泊松比μ0之间有如下关系：

1.2 深度方向的土基应力

将土基任一深度处的最大应力σx（z），σy（z），σz（z）与土基顶面最大应力σx0，σy0，σz0之比记作θx，θy，θz即

θx，θy，θz称为土基应力衰减系数，它随着土基深度z的增加而减小，随着刚度半径l的增加而增加.θx和θy大致相等，可统一记为θx，y.θx，y随土基深度增加的收敛速度快于θz.研究发现，将土基深度z、刚度半径l和荷载半径δ合并成一个参数η＝z／（l＋δ），则不同路面结构的土基应力衰减系数θx，y，θz均可视为参数的一元函数，见图2，它们的回归式可统一表示为

式中：a，b，c为回归系数，见表1.

1.3 土基竖向应变

多数情况下，土基任一深度处的竖向压应变最大点与压应力最大点重合，竖向压应变最大点与压应力最大点不重合时，两点处的压应变在数值上相差甚微，可近似认为其相等.根据各向同性弹性本构方程，土基任一深度处竖向最大压应变εz（z）为

表1 式（4）的回归系数a，b，cTab.1 Regression parameters a，b，c of formula（4）

图2 土基应力衰减系数θ与η的关系Fig.2 Relationship of subgrade stresses attenuation coefficientθandη

面层与土基层间光滑时，将式（2）和式（3）代入式（5）可得

面层与土基层间连续时，回归得到土基顶面压应变εz0与土基顶面压应力σz0有如下关系：

进一步可推出土基任一深度处竖向最大压应变εz（z）为

将式（1）和式（4）代入式（6）或式（8），即可得到任一深度的土基最大竖向应变值.与用BISAR软件计算结果相比，层间光滑时，两者之间的偏差小于11 μm；层间连续时，两者之间的偏差不大于12μm.

2 多层结构的土基应力、应变

路面结构有基层时，可按弯曲刚度等效原则将面层和基层合并成一层结构［11］，面层和基层总的刚度半径lg可按下式计算：

式中：Dg为面层和基层总的弯曲刚度.

式中：E2，h2，μ2分别为基层的模量、厚度、泊松比；ku为层间接触系数，层间连续时，ku＝1，层间光滑时，ku＝0.

面、基层连续，基层与土基光滑时，与理论结果相比，土基竖向的最大应力偏差不超过2kPa；最大应变的偏差小于12μm.各层之间连续时，土基竖向的最大压应力偏差不大于2kPa，最大应变的偏差小于15μm.

若路面结构超过二层，可由上而下逐层换算，先利用式（10）计算出一、二层总的弯曲刚度，再利用式（11）得出一、二层的当量结构层的模量Ex、厚度hx

然后再由式（10）和式（11）计算出一、二、三层的当量结构层，如此换算至双层结构后，利用式（9）计算出路面结构总的刚度半径lg，最后根据式（6）和式（8）求得土基的应力、应变.

3 旁侧轮系数和邻轴系数

道路上行驶的载重车辆有单轴、双轴和三轴3类轴型.单轴荷载可视为在双圆荷载的x方向一定距离（轮距取1.8m）处又施加一个双圆荷载，新加双圆荷载对土基竖向最大应力（或应变）的影响可以用应力的旁侧轮系数ξσ（或应变的旁侧轮系数ξε）来表示；双轴荷载可视为在单轴荷载的y方向一定距离（轴距取1.4m）处再作用另一个单轴荷载，三轴荷载与之类似，新加轴载对土基竖向最大应力（或应变）的影响用应力的邻轴系数ζσ，n（或应变的邻轴系数ζε，n）来表示.因此，n轴荷载作用下，土基任一深度处的竖向最大应力σz，n（z）（或应变εz，n（z））可写成下式：

3.1 土基竖向应力

双层结构时，应力的旁侧轮系数ξσ及邻轴系数ζσ，n随着面层厚度h1、土基深度z和面层刚度半径l的变化而变化.层间光滑时，旁侧轮系数ξσ及双轮荷载时的邻轴系数ζσ，2的回归式可写成

式中：νσ可称为相对深度；λ为回归系数，可近似取0.4n；A，B为回归系数，对于ξσ，分别为0.046，－0.285，R2＝0.995；对 于ζσ，2，分 别 为 0.074，－0.221，R2＝0.992.

三轴荷载时的邻轴系数ζσ，3的回归式为

层间连续条件下ξσ，ζσ，2和ζσ，3的数值比层间光滑条件下的数值稍大，其差值一般不超过0.04，可予忽略.

3.2 土基竖向应变

应变的旁侧轮系数ξε、邻轴系数ζε，n的回归形式与应力的旁侧轮系数ξσ、邻轴系数ζσ，n的回归形式相同.双层结构层间光滑时，对于ξε，回归系数A，B分别为0.040，－0.236，R2＝0.991；对于ζε，2，A，B分别为0.065，－0.122，R2＝0.992；对于ζε，3，A，B分别为0.032，0.130，R2＝0.989.相对深度νε中回归系数λ可近似地取0.2（n－1）.层间连续条件下的ξε，ζε，2和ζε，3值稍大于层间光滑条件下的值，但其差值一般小于0.05，可予忽略.

多层结构时，旁侧轮系数ξ和邻轴系数ζ仍可按上述方法计算，只需在相对深度ν计算式中的面层厚度h1和刚度半径l分别换成路面结构层的总厚度h和总的刚度半径lg即可.

4 荷位系数

对于水泥混凝土路面而言，车辆荷载位于水泥混凝土路面板的不同位置，例如，板中、板边缘、板角隅时，土基的应力、应变是不同的.荷载位于路面板角隅时，土基的竖向应力、应变为最大，它们较上述的板中荷位的最大应力、应变之增大比例可引入荷位系数来表征，即

式中：σc，z，n，εc，z，n分别为荷载位于板角隅时土基的竖向最大应力、应变；φσ，φε分别为土基竖向最大应力、应变的荷位系数.

4.1 计算方法及参数

荷载位于水泥混凝土路面板角隅时的土基应力、应变采用有限元法计算，水泥混凝土路面板平面尺寸取为5m×4m，基层纵、横向加宽3m，底基层和基层同尺寸，土基相对基层横向加宽4m，纵向加宽6m，土基深度为8m，土基尺寸为17m×18m×8m.土基竖向采用不等尺寸划分为14层，上密下疏，土基单元最小网格尺寸为0.06m×0.06m.土基与底基层（或基层）层间连续或光滑，其他各层之间均光滑.

计算选取的3种路面结构参数见表2.分别计算单轴－双轮、双轴－双轮和三轴－双轮 （单轴重均为100 kN）作用下，土基顶面至深度3m范围内的竖向最大应力、应变.

表2 路面结构参数Tab.2 Pavement structure parameters

4.2 土基竖向应力

土基顶面的应力荷位系数φσ单轴时为0.70～3.50；双轴时为0.45～2.80；三轴载时为0.50～2.75.随着土基深度的增加，应力荷位系数φσ减小，当z＝3m时，φσ约为土基顶面的5%～25%.应力荷位系数φσ与相对深度νσ之间关系如图3所示，可近似表示为

土基和底基层（或基层）连续时，回归系数Cσ，Dσ值见表3.层间光滑时的应力荷位系数φσ约为层间连续时的1.05～1.20倍.

表3 荷位系数回归系数Cσ，DσTab.3 Regression parameters Cσ，Dσ

图3 层间连续时φσ－νσ关系Fig.3 φσ～νσcurve with bonded interface

4.3 土基竖向应变

土基与底基层（或基层）层间连续，单轴荷载作用于水泥混凝土板时，在土基顶面，应变的荷位系数φε在0.90～5.30之间；多轴（双轴和三轴）荷载时，φε分别在0.65～4.50和0.65～4.65之间.当z＝3 m时，φε约为土基顶面的5%～20%左右.

应变的荷位系数φε与νε之间有如下关系：

土基与底基层（或基层）层间连续时，回归系数Cε，Dε值见表4.层间光滑时应变的荷位系数φε约为层间连续时的1.10～1.25倍.

表4 荷位系数回归系数Cε，DεTab.4 Regression parameters Cε，Dε

5 结论

（1）双圆荷载作用于双层结构时，土基顶面横向（平行双圆荷载方向）应力σx0和纵向（垂直双圆荷载方向）应力σy0在层间光滑时可认为相等.在深度方向，土基横、纵向的应力收敛速度要大于土基竖向的应力收敛速度.

（2）多层结构时土基竖向应力、应变的计算可采用双层结构时的土基竖向应力、应变的计算方法，计算结果满足精度要求.

（3）单轴荷载较双圆荷载对土基竖向最大应力、应变之增大比例用旁侧轮系数ξ来表示；多轴（双轴和三轴）荷载较单轴荷载对土基竖向最大应力、应变之增大比例用邻轴系数ζn来表示.旁侧轮系数ξ及邻轴系数ζn随着相对深度ν的增加而增加.层间接触状态对旁侧轮系数ξ及邻轴系数ζ的影响不大.

（4）车辆荷载位于水泥混凝土路面板角隅时，土基竖向应力、应变最大，它们较荷载位于板中时的土基竖向最大应力、应变之增大比例可用荷位系数φ来表征.水泥混凝土路面的底基层（或基层）与土基层间光滑时的荷位系数φ值大于层间连续时的荷位系数φ值.

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