江苏高考函数类数学建模试题剖析

姜业锋

用数学建模思想来分析江苏高考函数类数学题，能够帮助学生了解高考函数，指导他们解决生活中有关函数的问题.结合近几年江苏高考数学函数类试题，本文总结出了四类考点.

一、函数的概念、性质及其应用

【例1】请你设计一个包装盒，如图1所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

解析：本题考查函数的概念、最值等基础知识，

通过空间想象和阅读，来解决实际问题.

设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），

由已知得

a=2x，h=60-2x2 =2（30-x），0

（1）S=4ah=8x（30-x）=8（x-15）2+1800，所以当x=15时，S取最大值.

（2）V=a2h=22（-x3+30x2），V′=62x·（20-x），由V′=0得x=0（舍）或x=20.

当x∈（0，20）时，V′>0；当x∈（20，30）时，V′<0.所以当x=20时，V取最大值，此时ha=12 ，即包装盒的高和地面边长的比值为12 .

二、基本函数的图像和性质

【例2】函数f（x）=Asin（wx+φ）（A，w，φ是常数，A>0，w>0）的部分图像如图2所示，求f（0）的值.

解析：本题考查三角函数的图像及其性质.

由图像可知，函数图像过点（π3，0） ，（7π12 ，-2），

又A>0，w>0，

可知T4 =7π12 -π3 ，

解得T=π=2πw ，得w=2.

又函数图像的最低点是（7π12，-2 ），故A=2.

根据2sin（2×7π12 +φ=-2）

，可得φ=π3 .

所以f（0）=2sinπ3=62 .

三、方程根的问题

【例3】已知a，b，c，d是不全为0的实数.函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d，方程f（x）=0有实根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））的根，反之g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根.（1）求d的值；（2）若a=0，求c的取值范围.

解析：本题主要考查函数方程根问题，可以运用分类讨论和等价转化的方法.

（1）设r为方程的一个根，即f（r）=0，由题可知g（f（r））=0，则g（0）=d=0.所以d=0.

（2）由（1）知d=0，所以当a=0时，f（x）=0，g（f（x））=0，则f（x）=x（bx+c）=0，g（f（x））=x（bx+c）（b2x2+bcx+c）=0，

a，b，c，d是不全为0的实数.

（i）当c=0，b≠0时，符合题设；

（ii）当c≠0，b=0时，符合题设；

（iii）当c≠0，b≠0时，f（x）有x1=0，x2=-cb ，也是方程g（f（x））的根，但不是方程b2x2+bcx+c=0的实数根.故此方程无实数根，则此方程的判别式Δ=（bc）2-4b2c<0，得0

综上所述，c的取值范围是[0，4）.

四、函数的零点

图3

【例4】函数f（x）=x-cosx在[0，+∞）内（）.

A.没有零点

B.有且仅有一个零点

C.有且仅有两个零点

D.有无穷多个零点

解析：判断函数在区间上是否存在零点时，有三种情况：能直接求出零点时，直接求出判断；不能直接求出零点时，据存在性定理判断；用零点存在性定理无法判断时，画出图像判断.

（责任编辑金铃）