解析几何中范围和最值问题的解法研究

阮世雄

平面解析几何历来是高考的重头戏，尤其是解答题，每年必考且常考常新，具有涉及面广、综合性强、运算量大、能力要求高等特点，常以圆锥曲线为背景，重点考查等价转化、数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想.近几年的高考中，解析几何简答题中的范围和最值问题出现的频率相当高，下面根据个人的教学实践，结合高考题，探讨一下此类问题的解法.

解析几何中的几何元素（点、直线、曲线）经常处于运动变化中，并且它们在运动变化中又互相联系、互相制约.这在数学上表现为相应变量之间的联系与制约，即相应变量之间的等量关系与不等量关系.

若将变量间的等量关系看成函数关系，则可以将等量关系式转换成函数关系式，然后可以用求函数的值域（或最值）的方法求得变量的取值范围（或最值）.

若将变量间的等量关系看成关于某个变量的方程，则利用方程的性质可以求另一个变量的取值范围（或最值）.

若问题中已知（或隐含）某变量的范围，则利用变量间的等量关系实现变量之间的相互转化，从而构造关于未知变量的不等式，即可求变量的取值范围或最值.

这就是说，可以用函数的观点、方程的观点、不等式的观点来解决变量的范围与最值问题.下面举例说明.

一、用函数的观点解决范围与最值问题

【例1】设A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是线段AB的垂直平分线.

（1）当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论.