游戏：设计数学实验的有效载体

孙朝仁　朱桂凤

写出结论并说明理由。

【设计意图】这一游戏的设计，能让学生体验用方程思想解决问题的优越性，借用月历验证问题解决的合理性和正确性，加深了学生对方程模型的认识。第一个活动的过程开放，学生必须借助分类思想获得满足行或者列本应存在的方程关系，在求解思维和判断思维的帮助下，获取问题的解答方案，并可借助月历验证其存在性；第二个活动切入点开放，随着设定未知数的视点不同，获得的方程形式不同，但答案殊途同归。能让学生在操作的过程中自然生成用方程解决问题的方法，解决了初始时不知道怎样操作的问题，这种豁然开朗的感受来自于学生的手边，不是讲授课堂背景下死记硬背的结果，因此想忘也难以忘记，在一定层面上助推了建模意识的形成。

创造与解释：做一做

（1）你能根据上述游戏，再编一个你理解的游戏，列出方程并求解吗？

（2）将上述操作中的某个数用字母表示，借助方程验证结论的正确性。

【设计意图】游戏的编制与解答能验证学生已经内化的方程建模的水准，同时也能在尝试操作和再编制的过程中纠正认知偏差，缝合建模的空隙，熨平建模褶皱，丰富应用方程的思想，创造性地提升方程的建模空间。“用字母表示数”，为方程的正确展现提供了必备的前提，将方程的解以及相关数据回归月历，能即时解释结论的合理性，体现生活化的实证性，在一定层面上深化了方程的建模意识。

二、数学实验游戏的理性思考

数学建模是把现实世界中的实际问题加以提炼、抽象为数学模型，经历模型的合理性验证，并用获得模型的解答策略阐释现实问题的过程。数学建模意识是把现实世界中有待解决或尚未解决的问题，用数学的眼光发现问题、提出问题、理解问题，借助练达和转化的过程，将新问题归结于已经解决或易于解决的问题中，在已有知识经验的帮助下获取问题解决方案的一种习惯化意念。

多年的教学经验显示，大凡涉及应用类问题，学生学习起来总是底气不足，有一种有意或无意的排斥感，这让笔者在设计和执教时常常“谨慎+小心”，会担心学生那种毅然决然的排斥心理。尤其是初中阶段首次直面实际应用问题，即“用一元一次方程解决问题”的初始课，笔者更是百般注意，用全新的眼光审视现实的教学指向，设置符合学生认知规律和心理特征的“四组游戏+创造与解释”，确定“月历游戏”为学程的最大化学习载体，让学生的思维在生趣的玩中不经意间习得言语无法传递的建模意识，在正向和逆向的思维锤炼中获得一种根深蒂固的建模思想。

1.数学实验游戏的穿插与行走，催生建模意识。

苏科版教材七年级上册“4.3用一元一次方程解决问题”的内容编排理念是以解决问题的策略为主线，消解编排实际问题类型的印迹。第一课时，用“月历游戏”引动方程，借助“桌子加工问题”的解答过程，让学生获取用方程解决问题的一般方法。教材的指向试图让学生在“阅题多数”中播种建模意识，考量效果甚微（从历次考试的考情分析得到实证，试卷上应用处皆留白）；笔者试图改善这种低效学习的现状，融合教情、学情和人情，借助实物载体（月历）设计了游戏一和游戏二（思维互逆），让学生没有压力，自由自在地玩、轻轻松松地报数；借助实实在在的做、认认真真的观察和分析，获得摸不着的数感和一些特殊的数量关系，能为方程的建立提供必备的解设前提，否则用同一字母正确表示关联数之间的数量关系就成了无源之水、无本之木。而这些真切感受的获取不是肤浅地触及素材、走过问题、简单说教就能实现的；数感的真正发展不是教师的理解和体悟能取代的。因此，实验游戏的穿插与行走能催生学生的建模意识。

2.数学实验游戏的延展与演绎，内生建模意识。

在学生“玩数”和“圈数”的基础上，学生习得月历上相邻各数之间的数量关系。笔者试图将学生的现有“数感”引向“式感”链接方程，为方程的着床与发育提供必要的帮助。将原有的“月历游戏”情境进行了理性延展和知性加厚，创设了游戏三和游戏四。让学生在同一载体下接受不同角度和不同层面的思维打磨，经历无序的而又满足条件的圈数过程，借助已经内生的数量关系，在计算的帮助下和范例流程的指向下（课前学生预学课本，获得方程应用的初始能力），获取个体解答方案。大部分学生是借助方程获取老师希望的答案，理应即时张扬和表扬，因为这是知识的正向生长和学力的螺旋上升；依然有少部分学生借用“数量之间的关系+算术的方法”，获取特殊个体的正确答案，也应给予认可，这是对学生的理解，也是对生出知识的尊重，更是践行课标的实际表现（不同的人在数学上获得不同的发展），同时也要指出此处的方程“小用”将成为知识谱系中的“大用”（有些问题算术方法是无能为力的，而方程却能得心应手），因此，采用方程的方法更优越、更前瞻、更理性。在具体操作的过程中，笔者让学生交流研讨各组的思考过程，提炼方程解答问题的一般方法。让学生从特殊入手，经历“数学化和代数化”的过程，渐次靠近“方程化”，方程意识自然萌动、生根、发芽和拔节，终归于期待的开花与结果，方程思想在“做”中和“俯身拉车”中自然“胎生”，又在“抬头看路”中自然凝练，终归于问题解决的一般习惯（通向通法）。因此，模型意识的内生源于实验游戏的延展与演绎，绝不是“走读生”（听众）能真正获得的内力。

3.数学实验游戏的寻绎和释绎，衍生建模意识。

“创造与解释”这一模块的呈现是游戏的继续与寻绎，简短的两行却蕴含着、传递着大量的丰富的方程信息，为学生的数学实验提供广阔的探索时空。正如刘良华教授指出的游戏的基本秘密：其一，游戏让所有参与游戏的人忘记自己在做游戏；其二，游戏永远让人生活在希望中；其三，游戏总是为游戏者提供及时的反馈与矫正。笔者试图追求这种传统课永远也无法达到的数学学习的休闲境界，增补了“创造与解释栏”，割舍了“桌面加工项”，让学生在反反复复把玩月历的过程中，获得方程模型意识的衍生和外溢。游戏的再编制，为学生提供广袤的思考时空，每个生命个体都能在能力范围内和喜好层面上编制自己理解的游戏（可以是“T”型、“H”型、“Y”型等）。在编制与作答的过程中不经意间经历了思维的双磨练（正向与反向），加深了方程应用版式的印迹，获得了终身受用的方程思想。回望整个探索旅途，再度自我选择“用字母表示数”的提升点，能补位活动中初始能力够不到的问题或因时空所限引起思维留白的问题，经历多层面的交互和思辨以及质疑，让建模意识完满生长，成为生命永远的经历和终身难忘的记忆。这些本质性的模型意识的揭示和衍生，完全仰赖于游戏的寻绎和释绎，是传统课遥不可及的，也是“桌面加工项”不能带来的理解福音。

三、后续的思考

数学实验游戏的穿插与镶嵌是改善数学课堂“假性生成”现状的一剂良药，能让学生的兴趣外溢、思维着陆、知识通透、学力丰长；游戏的行走源于模型意识，发端于学习需要，归宿于人本理念。追求实效课堂是个永无止境的研究话题。值得注意的是，教学中，一般不可急于求成，尤其在前两个游戏活动中，最好不要过早地引入字母表示，应仅限于具体的数的思考，到游戏三、四再引导学生用字母来表示，让学生经历从“数”到“式”的过程，也即经历模型思想的建立过程，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。这里建立和求解模型的过程主要是借助月历这一现实情境，让学生用数学符号建立方程表示实际问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义，切实让学生体会到用方程解决问题的优越性。

注：本文为全国教育科学“十二五”规划2012年度单位资助课题——初中数学实验的设计与实施策略研究（FHB120483）的阶段性成果之一。

（作者单位：江苏省连云港市教育科学研究所， 江苏省连云港市幸福路中学）