浅淡导数知识应用

冯德芳

【摘要】导数是高中数学新增加的内容，它是研究函数单调性、极值、最值，讨论函数图象变化趋势的重要工具。本文通过例题说明导数的一些应用。

【关键词】导数；函数的切线；单调性；最值；恒成立问题。

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法。而考试大纲对这部分内容做出如下要求：

考试内容：导数的概念，导数的几何意义，几种常见的函数的导数。两个函数的和、差、积、商的导数。复合函数的导数。基本导数的公式。利用导数研究函数的单调性和极值。函数的最大值和最小值。考试要求：①了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。②熟记基本导数公式（ ， 为有理数 的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。③理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。而此复习时，应高度重视以下问题：

1. 求切线方程； 2. 求函数的值域； 3.解决单调性问题； 4.求函数的极值（最值）；5.构造函数证明不等式；6.分析恒成立问题。

考点1 导数的概念

利用导数的几何意义，研究曲线的切线的斜率。函数 处的导数，表示曲线在点 处的切线斜率。如：

（2011全国Ⅱ）（8）曲线y= +1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为

（A） （B） （C） （D）1

【思路点拨】利用导数求出点（0，2）切线方程 切线方程是： ，然后分别求出与直线y=0与y=x的交点问题即可解决。在直角坐标系中作出示意图，即得 。此题在考查学生导数概念的同时也考查学生的数学作图能力。

考点2 求函数的单调性

运用导数确定函数单调区间的一般步骤为：①求出函数 的导函数 ；②在函数定义域为解不等式 得函数 的单调增区间；解不等式 得函数 的单调减区间。

（具体见例1（1））

考点3 求函数值域

设函数 求 在 上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求 ；

⑵将 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。（具体步骤见例1（2），例1（2）不是直接求值域的问题，但是是相似的。需要分析清楚函数在某区间上的单调性，最值情况，并采用数型结合的方法，確定出参数的范围）

考点4 构造函数证明不等式

⑴直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等成立。

如：

证明：设

⑵把不等式变形后再构造函数，然后利用导数证明函数的单调性，达到证明不等式的目的（具体步骤见例1（3））

例1. 设函数

（1） 求 的单调区间；

（2） 当 时，若方程 在 上有两个实数解，求实数 的取值范围；

（3） 证明：当 时， 。

解：（1）

① 当 上为增函数；

② 当 ，令 ， 在 上单调递增，令 ，解得 ，在 上单调递减。

（此问是导数常规题型，需要要注意分类讨论）

（2）由（1）和 可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ， ，

， ， 时， 上有两个实数解。

（数学解题方法中应注意前后问题的联系及数型结合的应用）

（3） ，

设 ，

则 ，由（1）（2）可知 单调递减，且 ， ，即 上是递减函数。而 .原不等式成立。

（此问中一开始会是无从入手来证明，但是数学解题中化归方法的应用就显得重要，就是如何把想要的证明的东西与该题的条件相结合，实际是构造函数，结合导数分析单调性，进而能比较大小的问题）

构造函数证明不等式，其实不光是在函数相关的题型中可以使用。数学是非常灵活的，导数的本质掌握好了，能很好的用于其它题目中。在教学过程中，发现有学生也能用导数完成不等式的证明中。如

例2. 已知数列 ，数列 ，点 .

（1） 求数列 ；

（2） 若

解：（1）（过程略）

（2）（实际证明： ，此问在数列题目中，可以用数学归纳法证明，过程比较繁。但是因为数列是一种特殊的函数，也可以用函数的单调性来证明，但是在写法上就需要注意一些。不能构造 ，想用导数来分析单调性，该函数要在定义域内连续的。因此，可适当灵活变通，采用导数法求解较为容易。）

令 ， ，

当 ，则 上也为增函数，有 ，故 。

故

考点5 用导数探究含有参数的恒成立不等式

不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后，可转化为“ 恒成立”“ 恒成立”。解决的方法是求f（x）的最小值m或最大值M，将问题转化为“a≤m”” ”。从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题。因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。

例3.函数 ，若对所有 ，都有 成立，求实数 的取值范围。

【思路一】：此方法解题思路是分离变量，利用解决恒成立问题的思路，求某个函数的最值问题。但是在这里有一个大学才学的知识点的应用：洛比达法则——在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。其实在中学教材中是没有相关介绍的，但是因为在大学知识中属于比较浅的内容，高中学生也比较容易接受。在学生能力能接受的情况下，可以介绍重在应用。

解： 任意

， ，设 ， ，（若令 ，解不出）

令 ， ， ，

， ， .

【思路二】：直接构造函数，分析单调性入手来研究。这种方法就要注意在解题过程中，含有参数，应以什么进行分类讨论。这里是以零点所处的位置进行分类的。

解： ，令 解得

① 当 ， 上是增函数， ， 。

② 当 ，在 ，

当

综上，

在例3思路一的解法中，分离变量，转化成就某一函数的最值问题。想求函数的最值，有时候只需要求导一次即可，有时候需要进行二次求导来分析函数的单调性，如例2（2），想知道函数的单调性，求导一次时，还没有办法确定导数的正负问题，因此再考虑再次求导，以确定原函数的单调性。但有些题目，是不管求几次导都不能确定上一级函数的单调性的。如

例4.已知函数 ，若对于任意的

求 的取值范围。

解： ，令 ， ，（此时，当 再对分子求导无法确定单调性）设 ， ， ， ， ，

遇上这种情况，就需要多动脑筋，注意观察。

导数的引入，给传统的中学数学注入了生机与活力，为中学数学问题（如函数问题、不等式问题等）的研究提供了新视角、新方法新途径，开拓宽了高考的命题空间。如2011全国Ⅱ的导数题目就做为压轴题，在第（I）问中其实考查还是很常规的利用导数研究单调性最值的常规题，不难证明。第（II）问证明如何利用第（I）问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现。

（2011全国Ⅱ）（22）（Ⅰ）设函数 ，证明：当 时， ，

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为 .证明：

解：（I）

所以 在 上单增。

当 时， 。

（II）

由（I），当x<0时， ，即有

故

于是 ，即 .

利用推广的均值不等式：

另解： ，

所以 是上凸函数，于是

因此

，

该题的知识点多、覆盖面广、综合性强、灵活性大，其中引进适当的辅助函数是解题的关键。

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法。因此，在教学中，要突出导数的应用，方法提升。

总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。