一题多解应该有怎样的视角

李美林

数学中许多问题可以通过一题多解来加深对概念的理解，对技能的强化，但也容易落入“题海战术”的窠臼，如何从条件的特征出发，从问题的本源入手分析解题的方向应是教学的重点，而不是简单地进行题型练习，技能巩固。避免让一题多解成为解题的“秀工厂”。由于 包含有丰富的数学元素，因此从数学元素的特点出发可以合理、自然地提出解题的方案。

法1：（辅助角公式法）从式子的结构特色出发，将 看成是三角和角公式 的特殊情况，

因为 。

法2：（单位圆法）根据 是两个有联系的实数，将它们视为一个点的纵、横坐标，因此从 的解析几何意义入手。

即：注意到点P的轨迹是四分之一圆，作出单位圆 ，根据图形中三角形 的性质“两边之和大于第三边”，得 ，∴ 。又因为 ，∴ ，∴ 。

因此 。

法3：（向量法） 作为一个特殊的数值，它可以是视为向量数量积的运算结果，即为 ，

所以 ，其中

，因此 。

法4：（解析法） 看作是单位圆上 的两个点，并通过整体设元 ，的将问题转化直线与圆的位置关系相交或相切时， 的取值范围。

【解析】设 ，则 ，令 ，所以 ，化简得

，令 解得 。因此 。

法5.（导数法）将 视为关于 一元函数，因此可以利用导数方法求函数的取值范围。

【解析】 ，驻点为 ，

0

+ 0 —

极小值1 增 极大值

减 极小值1

因此 。

当然也可以转化为 并进行求导，但较繁琐。

法6：（三角函数定义法）从 的原始定义的出发，即 ，则问题转化为在 时，求 的取值范围。（与单位圆方法相近）。

【解析】在RT△ABC中， ，则 ，

又三角形中两边之和大于第三边得 ，∴ ，

综上知

法7：将 视为函数 上两个特殊点，即满足 =1，利用函数 是凹函数，得 （也可以视为均值不等式的一个应用），即解得 ，这时条件可以改变为 。 可以借助上述其他解法的方法求解。

法8：（分析法）将问题作为不等式证明一种题型，利用分析法，这时只是简单地把对象看成是“分析法”的应用，强调的是“分析法”技法的应用，对问题本身的数学意义并无太多的关注。

以下问题供大家思考。

1.（2009江西卷理）若函數 ， ，则 的最大值为

A.1 B. C. D.

【解析】因为 = =

当 是，函数取得最大值为2. 故选B

2.已知函数 .若 ，求 的最大值和最小值；

【解析】