导数问题中的错例剖析

秦勤

摘要：导数的引进无疑为中学数学注入了新的活力，但由于概念的抽象性，对基础知识掌握不全面或对题意理解不准确，在应用中出现一些错误现象。本文对几类常见错误进行剖析，以期引起大家的注意，试图对学生今后的学习有所启迪与帮助。

关键词：导数问题；错例；剖析

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）52-0097-02

导数的引进无疑为中学数学注入了新的活力，但由于概念的抽象性，对基础知识掌握不全面或对题意理解不准确，在应用中出现一些错误现象。本文对几类常见错误进行剖析，以期引起大家的注意，试图对学生今后的学习有所启迪与帮助。

一、对单调性判定法则的理解发生偏差

例1？摇判断函数f（x）=x-cosx在定义域区间（-∞，+∞）上的单调性。

错解：f（x）=1+sinx，当x=2kπ+■（k∈Z）时，f（x）=0，不满足f（x）>0，所以f（x）=x-cosx不是单调函数。

剖析错解：教科书中指出：“函数y=f（x）在某个区间内可导，如果f（x）>0，则f（x）为增函数；如果f（x）<0，则f（x）为减函数”，这仅是判定函数单调性的充分条件而不是必要条件，实际上，如果仅在某些个别点出现f（x）=0，但在其余点都是使f（x）>0，那么f（x）仍是增函数。

正解：f（x）=1+sinx，仅当x=2kπ+■（k∈Z）时，f（x）=0，所以f（x）≥0，从而f（x）=x-cosx是增函数。

二、忽视导数的几何意义

例2？摇已知曲线f（x）=2x3-3x，过点M（0，32）作曲线f（x）的切线，求切线的方程。

错解：由导数的几何意义知：k=f（0）=-3

所以曲线的切线方程为Y=-3x+32。

剖析錯解导数的几何意义是曲线上该点的切线的斜率，因此要注意此点是不是在曲线上。

正解：设切点坐标为N（x0，2x03-3x0），则

切线斜率为k=f（x0）=6x02-3

切线方程为y=（6x02-3）x+32

又点N在切线上，故有：

2x03-3x0=（6x02-3）x0+32，得x0=-2

所以切线方程为y=21x+32。

三、忽视闭区间上极值与最值的关系

例3？摇求函数f（x）=x3-2x2+x在[-3，3]上的最值。

错解：f（x）=3x2-4x+1

令f（x）=3x2-4x+1=0

解得x=1，x=■

所以，极值点为x=1与x=■。

因为f（1）=0，f（■）=■

所以函数的最大值为■，最小值为0。

剖析错解：闭区间上的最值问题是极值点处的函数值与端点处的函数值进行比较，然后取其最大值和最小值，而不能简单地把极值等同于最值。

正解：f（x）=3x2-4x+1=0

令f（x）=0

解得x=1，x=■

所以，极值点为x=1与x=■

所以f（1）=0，f（■）=■

F（-3）=-48，f（3）=12

所以函数的最大值为12，最小值为-48。

四、给定区间是单调区间的全集还是子集

例4？摇若函数f（x）=x3-mx2+2m2-5的递减区间是（-9，0），求m。

错解：f（x）=3x2-2mx<0得■m

所以f（x）的单调递减区间是（■m，0），所以（■m，0）？勐（-9，0）

所以■m≤-9即m≤-■。

剖析错解：没有看清楚条件，若告诉f（x）在（-9，0）上单调递减，则上述解法是正确的，这与告诉递减区间是（-9，0）是不一样的，错解的原因就在于分不清两者的差异。

正解：f（x）=3x2-2mx<0得■m

所以f（x）的单调递减区间是（■m，0），所以■m=-9

所以m=-■。

五、注意单调性的充要条件

例5 已知函数f（x）=x3+ax2+3x-1（a>0），且f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围。

错解：f（x）=3x2+2ax+3>0，得△=4a2-4×3×3<0，

所以a2<9，即0

剖析错解：错在没有考虑f（x）=0

正解：f（x）=3x2+2ax+3，因为f（x）在R上是增函数，所以f（x）≥0在R上恒成立。得△=4a2-4×3×3≤0故a2≤9，即0

六、导数为0的点不一定是极值点

例6？摇已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，求

f（x）。

错解：f（x）=3x2+2ax+b

则？摇f（1）=0？圯3+2a+b=0f（1）=10？圯1+a+b+a2=10 ？摇所以a=4b=-11或a=-3b=3

所以f（x）=x3+4x2-11x+16或f（x）=x3-3x2+3x+9。

剖析错解：错解在于认为导数为0的点就是极值点。实际上导数为0的点只是存在极值可疑点，若它的两侧导数异号，它才为极值点；若同号，则不为极值点。

正解：求出a，b得解析式后，应再看f1（x）=3x2+8x-11=（3x+1）（x-1），f2（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2，易知f2（x）在x的两侧同号，所以x=1不是f（x）的极值点，故f（x）=x3+4x2-11x+16为所求。