数学中的概念表征与理解学习

严志荣

理解是数学学习的关键. 有的学生在学习数学知识时能牢固掌握知识，举一反三，这类学生对知识的理解是最为深刻的；有的学生则是一 知半解，一味模仿，这类学生只是从形式上理解了知识；还有一类学生是一窍不通，弄不清知识的含义，这类学生对知识不理解. 以上三种现象究其原因可能很多. 数学概念表征的完善与否无疑是其中一个重要的因素. 一、相关概念

1. 数学中的理解学习

数学中的理解学习应是学习者先认识数学对象的外部表征，构建相应的心理表象，然后在建立新旧知识联系的动态过程中，打破原有的认知平衡，将数学对象的心理表象进行改造、整理、重组，重新达到新的平衡，以便抽取数学对象的本质特征及规律，从而达到对数学对象的理解.

2. 数学概念表征

概念域是指关于某一个概念的一组等价定义的图式. 也就是说描述一个概念的角度应是多维的. 现代认知心理学认为图式是人脑对事物或事件的一般特征的概括，贮存在人的长时记忆中，简单地说就是知识表征的储存方式. 例如，对正方形概念的等价定义有：① 有一个角是直角的菱形；② 有一组邻边相等的矩形；③ 有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形；④ 对角线相等的菱形；⑤ 对角线垂直的矩形……

二、相关指标

1. 刻画数学理解学习的四元指标

① 对数学知识理解的指标之一是对公式、法则等的简单模仿. 这种模仿处于数学理解的最低层次，也是必不可少的一个层次. 此时的模仿只是对公式、法则表象的理解，甚至对它们本身的意义并不清楚. ②对数学知识理解的指标之二是知识本身的灵活运用. 是知其然的表现.③对数学知识理解的指标之三是能用自己的语言叙述知识，知道知识的产生过程，并能知道与该知识等价的知识. 这是知其所以然的体现. ④ 对数学知识理解的指标之四：是在新的情况下综合运用. 这是数学理解的最高标志.

2. 刻画数学概念表征的四元指标

①对数学概念表征的指标之一是概念表征的真度. 也就是對一概念的理解正确程度. ②对数学概念表征的指标之二是概念表征的深度. 也就是对一概念理解的深刻性的程度. ③ 对数学概念表征的指标之三是概念表征的广度. 也就是对一概念相关概念的联系程度. ④ 对数学概念表征的指标之四是概念表征的速度. 也就是对一概念表征的快慢. 有的学生反应比较快，有的学生反应比较慢. 同样对概念表征也是如此. 对一个概念有的学生能很快说出，有的学生还没有想好.

三、数学概念表征对理解学习的影响

理解学习是数学学习的关键. 而数学概念表征是学习数学的基础. 有了概念，才有命题定理，才有了知识的综合运用. 因此概念表征是理解学习的第一步，也是最关键的一步. 如何完善数学概念表征呢？

1. 提供丰富的具体材料

概念学习一般分为概念形成和概念同化两种. 所谓概念形成是指同类事物的关键特征可以由学习者从大量的同类事物不同例证中独立发现. 教师向学生提供了丰富的感性材料，学生借此在大脑中建立了对该事物的感觉、知觉、表象，从而获得了对该事物的一些具体认识. 学生在进行概念表征时有了一个具体的思维物. 有助于学生找到相应的心理图像，从而初步建立起概念的表征. 采用概念形成的方法学习概念，由于是学生主动参与程度高，积极性高，有利于调动各种认知因素，更有利于建立起概念的表征. 而理解学习首先从认识数学对象外部表征开始，所以丰富材料也有利于理解学习.

2. 不断总结构建完善的概念域和概念系

形成初步的概念表征是理解学习的第一步，建立起完善的概念域和概念系是理解学习的重要标志. 教师在教学中要有意识地对相关知识进行总结，使同一概念在不同章节中的表达统一起来，从而建立起相关的概念域. 例如证明两条直线互相垂直的方法：① 定义；② 两个锐角互余；③ 勾股定理逆定理；④ 等腰三角形三线合一；⑤ 矩形、正方法性质；⑥ 直径所对的圆周角是直角……这一组方法就组成了垂直的概念域，而与垂直存在某种关系的概念网络就构成了概念系. 事实表明概念域和概念系越完善，数学学习就越容易. 也就是将数学对象心理表象更有效地进行重组、整理，纳入到认知结构中去.

3. 重视概念表征中的变式

变式是不断变换呈现的形式，以便让学生区分出数学概念的本质属性. 例如，在讲垂直概念时，学生习惯思维是与水平放置物体垂直理解，对斜放的物体呈垂直不认可，这说明学生受到了无关材料的影响. 因此改变垂直的呈现方法有助于概念的学习，有助于形成正确的概念表征，加深对数学的理解.

4. 重视元认知对概念表征的影响

简单地说元认知就是对认知的认识. 它包括元认知知识、元认知体验、元认知监控三个方面. 良好的元认知结构有助于概念表征的形成. 在概念表征中监控自己的表征有多少真度、深度、广度、速度. 监控自己的概念域和概念系有没有形成；监控自己对数学概念的理解程度. 从而形成概念表征与理解学习的良性循环.

【参考文献】

[1]邵瑞珍.教育心理学 [M].上海：上海教育出版社，1998.

[2]吴庆麟.教育心理学 [M].北京：人民教育出版社，2001.

[3]喻平.教学问题解决的实证研究述评[J].数学教育学报，2002.11（1）：16.