让运算为解题保驾护航

分析手中批改好的数学试卷，却郁闷地发现依然有几道题目算错了，白白丢了分数——尽管我们每次考试时都决心要仔细对待，但各种各样的运算错误仍然层出不穷，让人懊悔不已.

运算错误不能仅用“粗心”来解释，这还与每个人的运算能力有关.运算能力也不仅是指能进行简单的数字运算，更是指能根据数学的概念、公式、法则，对数、式、方程进行适当变形和正确运算.要求出正确答案，审题、探索解题方向、调整解题思路固然十分重要，但如果没有正确的运算为其保驾护航，解题也会功亏一篑.

如何能够算得又快又准确呢？除了要在运算时保持耐心、细致，更要注意以下三个方面.

为了准确、快速地算出结果，我们应充分挖掘题干中的重要信息，由此确定正确的运算方向，从整体上把握所求的数学量.

例1 [2012年高考数学浙江卷（理科）第13题] 设公比为q （q>0）的等比数列{an}的前n项和为Sn. 若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q= .

解析： 这道题并不难.要求q的值，只需把首项a1和公比q直接代入S2=3a2+2，S4=3a4+2，再解方程组即可.但这样一来运算却比较麻烦.如果仔细分析条件，就会发现“S2=3a2+2，S4=3a4+2”恰好对应了以an为自变量、Sn为因变量的一次函数Sn=3an+2，因此可以将等比数列前n项和的公式与Sn=3an+2对照，得到比较简捷的运算方法.

如果q=1，则{an}为常数列.由S2=3a2+2可得a2=-2；由S4=3a4+2可得a4=2. 因为a2≠a4，这与q=1矛盾，故q≠1.

因为Sn===-an+，所以Sn是关于an的一次函数.由S2=3a2+2，S4=3a4+2可知-=3，=2；解得q=，a1=-1.故q=.

点评： 求解例1时，我们受条件“S2=3a2+2，S4=3a4+2”的优美结构启发，根据“Sn是关于an的一次函数”这一发现，利用待定系数法得到了答案，这便是题目的本质所在.

例2 [2010年高考数学江苏卷第13题] 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若+=6cosC，则+的值是 .

解析： 例2的已知条件中既有边的关系又有角的关系，是把边转化为角，还是把角转化为边呢？观察所求式+，该式只包含了角的关系，把正切函数化为正、余弦函数后，由正、余弦定理可把所有角的关系转化为边的关系，由此就确定了运算方向——把已知条件和所求结论“统一”到边的关系上来运算.

由+=6cosC得a2+b2=6abcosC，由余弦定理可得a2+b2=6ab，整理得a2+b2=c2.

+=+=·=·==.因为cosC=，a2+b2=c2，所以===4，即+=4.

点评： 只有熟练掌握基本的数学知识与方法，才能找出与题目条件、所求目标对应的知识与方法，并把它们联系起来，明确运算方向.方向明确了，就可以避免不必要的运算，让运算更加快捷正确.

例3 [2010年高考数学浙江卷（文科）第16题] 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是 .

解析： 由题意可知“六月份至十月份的销售总额不少于7000-3860=3140万元”，即500+2×500×[（1+x%）+（1+x%）2]≥3140，整理得（1+x%）+（1+x%）2-2.64≥0.因式分解可得[（1+x%）-1.2]·[（1+x%）+2.2]≥0，故1+x%≥1.2或1+x%≤-2.2.因为六、七、八月份的销售额依次递增，所以x%≥0，所以1+x%≥1.2，即x≥20.

点评： 由解题过程我们不难发现，将1+x%看成一个整体，运算能相对简单一些.此外，对于不等式（1+x%）+（1+x%）2-2.64≥0，尽快发现2.64=2.2×1.2是数学运算熟练的一种标志，据此对不等式进行因式分解，比用求根公式运算简便得多.

有些问题看起来形式复杂烦琐，要直接求解很麻烦.但若利用数形结合、分类讨论、特殊化、等价转化等数学思想，换一个角度思考问题，往往可以简化运算、方便解题.

例4 [2012年高考数学江苏卷第18题第（3）问] 已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点.设h（x）=f[f（x）]-c，其中c∈[-2，2]，求函数y=h（x）的零点个数.

解析： f′（x）=3x2+2ax+b.因为1和-1是f（x）的两个极值点，故 f′（1）=3+2a+b=0， f′（-1）=3-2a+b=0；解得a=0，b=-3.所以f（x）=x3-3x.

如果把f（x）=x3-3x代入h（x）=f[f（x）]-c，再考虑y=h（x）的零点个数，求解过程必定不胜其烦.所以我们必须另辟蹊径.

由于f（x）∈R，为了方便解题，我们可以先研究当c∈[-2，2]时，f（x）-c=0的零点个数，即研究曲线y=f（x）与直线y=c，c∈[-2，2]的交点个数.对此，只要利用数形结合思想作出图象，就能找到答案.

因为当x=1或x=-1时，f（x）=x3-3x有极值点，代入解得f（x）的极小值为f（1）=-2，极大值为f（-1）=2.令f（x）=0，解得x1=-，x2=0，x3=，故函数f（x）的图象与x轴有3个交点.如图1所示，作出f（x）=x3-3x与y=c，c∈[-2，2]的图象.

当c=2时，直线y=2、直线y=-2与f（x）=x3-3x的图象各有两个不同的交点，且可以解得f（x）=2的两个根为x=-1或x=2； f（x）=-2的两个根为x=-2或x=1.

当c<2时，由图1可知，y=f（x）的图象与直线y=c，c∈（-2，2）有三个交点，根据函数f（x）的单调性可判断，方程f（x）=c的解分别在区间（-2，-1），（-1，1），（1，2）内.

接下来考虑函数h（x）=f[f（x）]-c的零点个数，即研究方程f[f（x）]=c，c∈[-2，2]的解的个数.

当c=2时，f[f（x）]=2.如果我们把f（x）看成t，则有f（t）=2.由以上分析可知t=-1或t=2，即f（x）=-1或f（x）=2.由图1可知f（x）=-1有3个不同的解，f（x）=2有2个不同的解，因此f[f（x）]=2有5个不同的解，即y=h（x）有5个不同的零点.

当c=-2时，同理可得f（x）=-2或f（x）=1，由图1可知y=h（x）有5个不同的零点.

当-2

综上可得，当c=2时，函数y=h（x）有5个零点；当c<2时，函数y=h（x）有9个零点.

点评： 求解例4的关键在于合理地应用等价转换、分类讨论和数形结合等数学思想，尤其是充分利用了数形结合思想，先根据图象研究f（x）-c=0，c∈[-2，2]的零点个数，再把结果代入f[f（x）]=c，c∈[-2，2]中进行分析，避免了大量的运算，直观方便地解决了问题.

在解题时“一条道走到黑”，盲目地进行运算，往往是事倍功半.尽可能从多角度探究问题，灵活机动地选择最合适的运算方法，才能提高解题效率.

例5 [2012年高考数学浙江卷（理科）第21题第（2）问改编] 如图2所示，椭圆C：+=1，P（2，1），不经过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OP平分线段AB.求直线l的斜率k.

解法一： 因为O（0，0），P（2，1），故直线OP的方程为y=x.因为OP平分线段AB，而直线l不过原点O，故直线l的斜率k存在且l在y轴上的截距不为0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M，直线l的方程为y=kx+b （b≠0）.

联立直线l与椭圆C的方程有 y=kx+b，+=1；整理得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0 ，则Δ=64k2b2-4（3+4k2）（4b2-12）>0.由韦达定理可得x1+x2=-，x1x2=；所以M-，.

因为M在直线OP：y=x上，所以=·.解得b=0 （舍去）或k=-.当k=-时，由Δ>0解得b∈（-2，2）且b≠0.即只有在此情况下，k=-才成立.

解法二： 由解法一可知直线OP的方程为y=x，直线l的斜率k存在且l在y轴上的截距不为0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（2m，m）.因为A，B都在椭圆上，故+=1，+=1，两式相减得3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，所以k==-·=-·=-. 如解法一，需把k=-代入Δ>0验算，解得当b∈（-2，2）且b≠0时，k=-才成立.

解法三： 由解法一可知直线OP的方程为y=x，直线l的斜率k存在.设线段AB的中点M（2m，m），则直线l的参数方程为x=2m+tcosα，y=m+tsinα（t为参数）.代入+=1，整理得（3+sin2α）t2+4m（3cosα+2sinα）t+16m2-12=0，因为M为线段AB的中点，所以t1+t2=0=，解得tanα=-，即k=-.如解法一，还需把k=-代入Δ>0进行验算.

点评： 解法一通过联立方程，利用判别式和韦达定理求解，这是求解这类解析几何问题的通法，但运算比较复杂，联立直线方程与椭圆方程后，在消元整理时容易算错.解法二利用点差法来求解，点差法常用于求解圆锥曲线的中点弦问题，它的优点是计算量较小，但使用前提是直线与圆锥曲线必须有两个不同的交点，因此解出答案后还需验算.解法三使用了直线的参数方程，通过直线的倾斜角α求斜率，这对掌握了直线参数方程标准形式的同学来说，不失为一种很好的解法.

明确运算方向、简化运算过程、选择合适的运算方法从大方向上保证了运算的便捷，要在具体的运算过程中做到更快捷更准确，还必须注意以下几点：

（1） 要保证数学运算的正确性，首先要正确熟练地记忆立方和公式、立方差公式、三角函数相关公式等各类数学公式.其次要掌握因式分解法、配方法等基本数学方法.此外还需重视对运算结果的反思，比如算出正弦值为，我们应马上意识到这个结果是错误的，再回头检查整个运算过程，确保正确解题.为了提高运算速度，我们还应该记住一些运算中常见的数值，如1到30每个数的平方是多少、210是多少.

（2） 重视对数字进行正确的计算、估值和近似计算，对式子进行合理的组合变形和分解变形.在遇到障碍时，应能及时调整运算方向.

（3） 要提高数学运算能力，不能只看题不做题，足量的练习很有必要.

【编后语】 在这个蝉音初扬的夏日，“一起研究高考题”这个系列要和同学们说再见了.回顾这十期内容，我们从研究高考试题的必要性讲起，分析了试题的不同来源，给出了复习建议.接下来，我们从审题、确定解题方向、调整解题思路、进行解后反思、提高运算能力这五个方面，深入讲解了解题的各个步骤.如果你认真研读了这些文章，相信一定能在考场上更加胸有成竹.在此预祝同学们取得好成绩，考上理想的院校！