三等分任意角

邓书云

同学们都会平分任意角，但是，大家会三等分任意角吗？

我们学了矩形后，知道了矩形的对角线相等且互相平分。如图1，在矩形ABCD中，对角形AC、BD相交于点O，根据矩形的性质有：AO=CO=BO=DO= AC= BD。这时可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。有了这个性质加上以前学过的平行线性质和等腰三角形的性质，就可以三等分任意角了。

例题 （2012年天津市中考题改编） “三等分任意角”是数学史上一个著名问题，如图2（1），将∠MAN放置在每个小正方形的边长为1 cm的网格中，角的一边AM与水平方向的网格线平行，另一边AN经过格点B，且AB=2.5 cm，现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出∠X，并简要说明作法和证明。

作图：如图2（2），用直尺有刻度的一边过点A，设该边与过点B竖直方向的网格线交于点C，与过点B水平方向的网格线交于点D，（保证有刻度的一边过点A）调整点C、D的位置，使CD=5 cm，画射线AD，这时∠DAM即为所求的∠X。

证明：取CD的中点E，连接BE，

在Rt△BCD中，BE= CD=DE=AB，

所以∠1=∠2，∠3=∠4，

而∠3=∠1+∠2=2∠2。

又因为BD∥AM，

所以∠2=∠DAM。

所以∠DAM= ∠MAN=∠X。