追求有效课堂的真谛

毕宏辉

人教版数学四年级下册编排了“三角形”这一单元，内容有三角形的特性、三角形的分类、三角形的内角和和图形的拼组等四个小节。第一小节学习“三角形的特性”，在这一小节中要求学生认识怎样的图形是三角形（概念）、认识三角形的高（画高）、三角形的稳定性以及三角形的三边关系。作为本小节的第一课时，通常要学习前三个知识点，但如果在这节课中平均用力学习这三个知识点，势必会影响对三角形高的认识和画高技能的落实。

任何一个几何概念的学习一般都要经历“具体实物—一般图形—科学概念”的过程，基于学生已有的学习经验（先前在学习四边形时，已经对“封闭图形、四边条、四个角、四条线段围成”的认识比较清楚）和教材对三角形概念仅仅是描述性叙述的特征，我采用了淡化概念教学的过程，不在三角形的概念上作过多的诠释。

关于三角形的稳定性，现在很多设计都从原来的“拉一拉三角形框架来感受稳定性”上升到“对稳定性的本质——唯一性的思考”上，我也没有作过多的渲染。只是将平行四边形和三角形联系起来，让学生在“平行四边形易变形”这个已有的学习经验中类比学习“三角形的稳定性”。

三角形的“高”无疑是这节课学生学习的重点，也是教师们公认的学习难点。学生学习困难的原因主要有三个：（1）四年级上册“过直线外一点作直线的垂线”的技能掌握程度对正确理解并画出“三角形的高”的影响比较大；（2）三角形高的定义比较抽象，“高”的定义又涉及它的画法，两者相辅相成；（3）生活中的“高”往往建立在水平面上的，对学生掌握不同位置底边上的高带来一定的负迁移，需要学生的思维自动从生活概念向数学概念作出调整。具体教学中，我主要采用了以下几个策略：（1）溯水求源，寻找三角形“高”的知识源头；（2）在文本与图像之间寻找意义的连接点，将抽象的文字转化为直观的图像；（3）动态想象，采用慢镜头感悟三角形不同类型的高。（4）整体感悟，从“高”知识点的大背景中类比研究三角形的高。

综上所述，制订本节课的教学目标：（1）借助学生原有的对三角形概念的认知和理解，认识三角形各部分的名称，学会用字母表示三角形，联系平行四边形易变形的特征理解三角形的稳定性及其在生活中的运用；（2）联系“点到线段的距离”正确理解三角形底和高的含义，并能正确画出三角形指定底上的高；（3）在学习的过程中感悟数学知识之间的内在联系和本质区别，培养学生的空间想象能力。

一、由线段外的一点引入

1.格子图（边长为1厘米的正方形）上有两点A和B，怎样知道它们的距离？（引出两点之间线段距离最短，如图1）

2.线段AB外有一点C，距离线段AB的距离为3cm，你猜猜C点可能会在哪里？为什么？（引出点到线段的距离，如图2）

3.点C画在什么位置，到线段AB的距离都是3cm？（引出线段之间的距离，如图3）

二、三角形的概念

1.想象：将点C分别与线段AB两端连起来，会出现什么图形？根据学生回答，将点A、点B分别与点C相连，出现5个三角形，如图4。（教学用字母表示三角形：三角形ABC，也可以记作：△ABC）

2.你了解哪些三角形的知识？（引出三角形各部分的名称：3个顶点、3条边、3个角，请学生在其中一个三角形中指一指，并用字母表示各部分的名称）

3.图5是三角形吗？为什么？你能用数学语言说说怎样的图形是三角形吗？得出：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。

三、三角形的稳定性

1.寻找生活中的三角形。（教师出示三幅图片，如图6）

2.讨论：电线杆上的支架、自行车的架子、空调的支架为什么都做成三角形，而不像这个衣架（如图7）那样做成四边形？

引出：平行四边形容易变形，三角形具有稳定性。（教师出示一个三角形和一个平行四边形框架，请学生感受平行四边形容易变形，而三角形具有稳定性）

3.求证：三角形具有稳定性，平行四边形却易变形的原因。

活动：请学生分别用三根小棒（6cm、4cm、4cm）搭三角形和用四根小棒（6cm、6cm、4cm、4cm）搭平行四边形。将同学们搭的图形串起来，发现不同的学生用同样三根小棒搭出来的三角形都是一样的，而用同样四根小棒搭出来的平行四边形却不一样。

师：三角形三条边的长度固定，所搭三角形的形状就是唯一的，非常稳定，在数学上我们称之为三角形的稳定性。而搭平行四边形，同样的四根小棒，不同的人搭出不同的形状，所以平行四边形不具有稳定性。

四、三角形的高

1.高的概念。

（1）出示概念：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫三角形的底。请学生自学，说说你是怎样理解的，你能试着在第一个三角形中画一画AB这条底边上的高吗？

（2）反馈学生作品，请学生说一说你是怎样画AB底边上的高，并请学生用直角三角尺检验“高”画得是否正确。

（3）指定同学演示画高的过程，标出“高”“底”“垂足”的位置（如图8），并请学生针对高的定义，说说什么是三角形的“高”“底”和画高的过程。

（4）沟通三角形的高与点到线段距离的联系。

师：作AB边上的高实际上就是画什么？（抽象出点到线段的距离，如图9）

（通过讨论，把作高与以前学过的过直线外一点作直线的垂线段这一旧知紧密联系起来，建立了作高的桥梁，正是“转化”这种数学基本思想的及时介入，引出学生对高的进一步辨别和理解，把就技能技巧转化为已学过的作垂线段的知识，把新经验纳入已有的知识结构中获得理解，帮助学生了解认知结构的前因后果、来龙去脉。）

（5）将图8旋转（如图10），每旋转一次都引发学生思考：现在所画的这条线段是否还是三角形AB底边上的高？为什么？（让学生针对高的概念说明还是三角形高的道理）

（6）讨论：三角形有几条高？为什么？你能试着画出AC边和BC边上的高吗？（反馈学生的作品，进一步理解三角形高的概念）

师：一个三角形有3条底和3条高，你能说说谁是谁的高吗？（重点引导学生体验三角形高与底的对应关系）

2.练习画高，引发动态想象。

（1）画出另外3个三角形AB底边上的高（如图11）。

（2）观察这4个三角形AB底上的高，你有什么发现？

引导学生发现，这4个三角形边AB的位置不变，但AB边上的高却随着顶点C逐渐向右移动而逐渐向另一条边靠拢，最后一个三角形的高与BC边重合。

师：为什么第4个三角形AB边上的高与BC边重合了？

根据高的概念，引导学生发现直角三角形直角边AB上的高就是过点C作AB的垂线，也就是另一条直角边BC。

（3）几何画板动态演示，点C沿着底边的平行线逐渐向右移动，AB边上的高也逐渐向右移动（向另一条边靠拢），一直到高与直角边BC重合（如图12）。

追问：如果点C继续向右移动，这个三角形的高将会怎样？动态演示钝角三角形钝角对边上的高逐渐离开三角形，出现在三角形的外面。

（4）想象：如果点C沿着底边上的平行线逐渐向左移动，三角形AB边上的高将会有怎样的变化？请学生想象后进行描述，教师再用几何画板动态演示，再次感受锐角三角形、直角三角形和钝角三角形高的变化。

（5）观察、体验三角形“等底等高”的规律。

师：点C在三角形底边AB的平行线上不断移动，就形成许多新的三角形，这些三角形的底和高有什么相同点和不同点？（发现三角形底边的位置不变，高的位置却发生了变化，但高的长度却保持不变，也就是“等底等高”）

师：为什么这些高的长度都相等？

生：因为平行线间的距离处处相等。

3.分层练习画高，激发学习兴趣。

第一层次：画出下面三角形指定底边上的高；第二层次：选一个或两个三角形画出另外两条底上的高。（如图13）

投影显示学生的作业，引导学生发现：锐角三角形的三条高都在三角形里面，并相交于一个点。引发学生思考：直角三角形、钝角三角形的三条高分别在什么位置？它们会不会相交于一点呢？有兴趣的同学可以课外去作进一步探究。

五、课堂回顾，在“高”的大背景中类比、归纳

1.回顾本节课的学习内容。

（小结怎样的图形是三角形，三角形的高和高的画法，三角形具有稳定性的特点。）

2.概念类比：平行四边形、梯形、三角形的高。

师：今天我们研究的三角形的高与以前研究的平行四边形、梯形的高相比，有什么相同点和不同点？

引导学生发现，高都是垂线段；三角形的高是一个顶点到底边上的距离，平行四边形和梯形的高是作为底的那组平行线之间的距离；三角形一条底边上只有一条高，平行四边形和梯形一组底边上有无数条高。将三角形的“高”放在知识的大背景中让学生整体感知和有效建构，从而深化对“高”的理解，使数学知识构成网状结构。?