学课标、明变点、谋方略

赵守文 杨俊杰 马红艳

赵守文：曾任哈尔滨市教育研究院义务教研部主任。先后被评为全国优秀教师，黑龙江省及哈尔滨市有突出贡献的中青年专家，哈尔滨市劳动模范、优秀教育工作者标兵、一级功勋教师。2010年被评为哈尔滨市教育事业做出突出贡献的教育工作者，享受国务院特殊津贴和黑龙江省政府特殊津贴。曾先后在《人民教育》、《数学通报》、《中学数学教学参考》、《黑龙江教育》等国家级及省级刊物上发表数学类文章70多篇，三部数学专著《中学数学重点难点研究》、《数学教学素质教育探索》、《讲台、平台、展台》全面展示了他数学研究的领域和进程，为我市教育改革和教师培训做出了突出的贡献。

以《初中数学课程标准》（2011年版）为蓝本，以历年中考数学试题为载体，对今后中考命题的走向和趋势进行认真分析、研究和思考，确定务实高效的中考数学复习方略，无疑将是提高复习效率和中考质量的重要前提和保障.

我们知道，2011年颁布的《初中数学课程标准》与原有的“课程标准”相比较存在不同之处，这些将是我们制定复习方略必须牢牢把握住的关键点.

一、找准由“双基”到“四基”的衔接点

《初中数学课程标准》（2011年版）在学生的数学素养方面，由原来的“基础知识和基本技能”升华到“四基”，即：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.新增加的“两基”则是必须要加以强化和关注的.

（一）突出“基础知识和基本技能”考查的研究与思考

关于“数与代数”的“双基”主要体现在对基本概念、基本计算、基本解法、基本性质的考查；几何图形方面体现对基本几何图形的性质、推理、变换及其相互关系的考查；数据统计方面体现对基本数据收集、整理、描述和分析及对事件可能性的刻画的考查.这些是历年中考都严格掌控的内容.这些基础知识和技能都是学生应知应会的必备数学素养，也是中考试题考查的主体，是面向全体学生的考查与评价.

（二）突出“基本思想”考查的研究与思考

《初中数学课程标准》（2011年版）把“基本的数学思想”作为课程目标的重要组成部分，单独明确地提出来，这不仅是义务教育性质的重要体现，也是对学生实施创新教育，培养创新思维的重要保证.数学基本思想是数学素养的重要内容，其蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，如抽象、模型化和推理等.中考命题将会重视“数学思想”的考查与评价.

1.“抽象”问题

数学在本质上是研究抽象的东西，数学的发展所依赖的最“基本思想”就是抽象，中考命题只能在“抽象”的某一侧面或某一环节以及多从实际问题抽象出数学问题入手加以考查.

甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍.两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）的函数图象如图所示.

（1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式.

（2）求乙组加工零件总量a的值.

（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？

答案：（1）甲组加工的零件数量y与时间x的函数关系式为y=60x.

（2）a=300.

（3）经过3小时恰好装满第1箱，再经过2小时恰好装满第2箱.

某班师生组织植树活动，上午8时从学校出发，到植树地点植树后原路返校，如图为师生离校路程s与时间t之间的关系图象.请回答下列问题：

（1）求师生何时回到学校？

（2）如果运送树苗的三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速前进，早半小时到达植树地点，请在图中画出该三轮车运送树苗时，离校路程s与时间t之间的图象，并结合图象直接写出三轮车追上师生时离学校的路程.

（3）如果师生骑自行车上午8时出发，到植树地点后，植树需2小时，要求14时前返回到学校，往返平均速度分别为每时10km、8km.现有A、B、C、D四个植树点与学校的路程分别是13km、15km、17km、19km，试通过计算说明哪几个植树点符合要求.

答案：（1）师生在13.6时回到学校.

（2）由图象得，当三轮车追上师生时，离学校4km.

（3）A、B、C植树点符合学校的要求.

以上两题是从学生所熟悉的现实生活中抽象出的数学问题，题目以函数为主线，融行程问题、不等式知识为一体，综合考查学生从函数图象信息及实际问题中抽象出变量之间的函数关系的能力.可以揣测：如何让学生从实际问题中自主抽象出数学问题，如何用高层次的抽象解决低层次抽象的合理性，应是今后值得我们探索的两个方面.

2.“数形结合思想”的问题

“数与代数”部分的核心内容是函数，“图形与几何”部分的核心内容是图形.用函数思想刻画图形变化规律，恰是初中数学的最核心内容.图象是以几何直观的方式体现量与量之间的关系，函数图象体现了数形结合的思想，函数模型是对数量与图形对应关系的刻画.因此，以运动变化为背景，利用函数刻画动态几何的综合问题作为中考压轴题，一直是中考试题中“数形结合思想”考查的重要部分.

如图，在长方形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱.设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）

如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E.设AD=X，CE=Y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（）

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O.

（1）如图1，连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中：①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当点Q运动到点E之前，设P、F、D、Q四点组成的四边形的面积为S，求S与t的函数关系式（写出自变量的取值范围）；②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式.

3.“推理”问题

推理是数学的基本思维方法，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.推理一般包括合情推理和演绎推理，《初中数学课程标准》（2011年版）增加了归纳推理的阐述，成为修订部分的重要内容.

（1）请观察上面命题，猜想出命题n （ n是正整数）；

（2）证明你猜想的命题n是正确的.

以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH.

（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断四边形EFGH的形状（不要求证明）；

（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°<α<90°）：

①试用含α的代数式表示∠HAE；

②求证：HE=HG；

③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由.

答案：

（1）四边形EFGH的形状是正方形.

（2）①用含α的代数式表示∠HAE是90°+α.

②证明略.

③四边形EFGH是正方形，理由略.

例6由一般到特殊探究一组直线和一组双曲线的一个交点规律，体现了一个完整的推理过程：观察、猜想、发现、验证、归纳；例7先由最特殊的正方形开始探究，再到矩形，最后到一般四边形，体现了合情推理和演绎推理的结合.

（三）突出“基本活动经验”考查的研究与思考

《初中数学课程标准》（2011年版）明确了数学基本思想和基本活动经验的教育是培养学生创新精神和实践能力的主要内容，因此基本活动经验的考查将是中考命题的焦点之一.数学的活动经验不仅包括观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学学习过程的经验，而且还应包括数学的思考方式和数学的应用知识，即数学基本学习经验和数学应用意识.

通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边/腰=BC

AB

.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：

题目给出一个新的定义素材，关注学生的学习过程，通过类比学生比较熟悉的锐角三角函数的学习过程，特别给出一个类似三角函数的符号sad，较为全面地考查了学生的基本学习经验.通过探究新知识，引导学生从已有的知识经验出发，激发数学思考.通过构造学习新知识的过程，实现对一类知识学习过程的考查.

2.“数学应用意识”问题

数学的活动经验是指学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性认识、情感体验和应用意识，而应用意识又是其核心部分，应用意识的形成是知识经验形成的标志.

小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如下的四种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种方案帮小明求出图中的x值.

答案略.

以上题目结合了基本图形与图形变换知识，体现了对不规则图形向规则图形的转化思想的考查，体现了应用数学知识解决实际问题的意识.事实上对基本活动经验的考查是一个很难完全通过考试来加以测评的过程，因此也只能尽可能地做出对数学活动经验的近似考查.

二、把握“两能”到“四能”的鲜亮点

《初中数学课程标准》（2011年版）在强调发展学生分析和解决问题的能力（两个能力）的基础上，增加了“发现问题和提出问题”的能力，即构成了“四个能力”.因此中考命题在注重“分析问题和解决问题能力”考查的基础上，将会尝试构制“发现问题和提出问题”这一类型的试题，其中包括观察能力、归纳能力、类比能力等.

数学的学习能力，很重要的一个方面是要具有敏感且又较准确的发现能力，而发现问题又基于具备观察、归纳、类比与实验操作能力.观察是认识事物和发展规律的起始与基础，也是猜想形成的重要条件和动力，通过对观察能力的考查来落实对发现能力的考查，便是一种有效的选择和途径.

阅读材料回答问题

我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型来逐步认识这个事物，比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形.我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识.请解决以下问题：

如图，我们把满足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”.

（1）写出筝形的两个性质（定义除外）；

（2）写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明.

答案略.

题目要求写出“筝形”的两个性质和两个判定方法，这些都是要以良好的观察为基础，而由观察引发猜想则体现了对发现能力的考查.

在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度.

（1）实验操作：

在平面直角坐标系中描出点P从原点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：

（2）观察发现：

任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数_______的图象上；平移2次后在函数的_______图象上……由此我们知道，平移n次后在函数的_____图象上.（请填写相应的解析式）

（3）探索运用：

点P从原点O出发经过n次平移后，到达直线y=x上的点Q，且平移的路径长不小于50，不超过56，求点Q的坐标.

答案：（1）

（2）y=-2x+2；y=-2x+4；y=-2x+2n.

（3）点Q的坐标为（26，26），（28，28）.

题目中的问题（1）首先根据平移的要求在坐标系里描绘出平移1、2、3次可能到达的点，由此借助归纳方法判断出平移次数与可能到的点所在直线的对应关系，这也就解决了问题（2），而问题（3）则是利用得到的对应规律和提出的新要求，构造方程组来解决问题并通过构造构思巧妙的形式对归纳能力进行考查，同时也可以强化对发现能力的考查力度.

如图1，将三角板放在正方形

ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F.另一边交CB的延长线于点G.

（1）求证：EF=EG.

（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

“类比能力”也是一种由发现规律从而形成猜想的能力，因此通过考查类比能力来落实对发现问题能力的考查.题目是将由一直角三角板的直角顶点置于正方形一顶点时所得到的结论，先类比到直角顶点在正方形对角线上其他点时该结论是否仍成立，进而再类比到直角顶点在矩形对角线上的相应情况，对应的结论也相应地发生了变化.类比中因问题背景要素发生变化而引起的结论变化，正是类比能力的重要考查内容.