疲劳可靠度分析的概率密度演化方法

摘要：基于概率守恒原理，推导出疲劳损伤和随机参数联合概率密度函数服从的演化方程。据此计算的随机疲劳损伤概率密度曲面和累积概率分布函数等值线可以给出疲劳损伤概率结构的演化规律，并用以分析给定损伤阈值的疲劳可靠度。常幅疲劳可靠度的数值解与试验结果吻合良好。给定二级载荷各自的常幅疲劳寿命概率分布参数，根据Miner准则可以较好地预测二级低高加载变幅疲劳可靠度。

关键词：疲劳；损伤；可靠度；概率密度演化

中图分类号：TU311.3文献标志码：A文章编号：16744764（2013）06006706

疲劳损伤及断裂问题是材料和结构失效的常见模式。有资料表明，70%～80%的金属结构破坏与疲劳损伤及断裂有关[1]。由于影响结构疲劳损伤及断裂的因素甚多且物理机制复杂，如材料性质、结构组成、荷载、参数估计、模型误差、使用环境等[2]，本质上均具有不可忽略的随机性。因此，采用可靠度的方法分析结构疲劳损伤就成为一种自然的选择。

疲劳可靠度分析常采用应力强度干涉模型[3]，可靠度求解方法几乎无一例外地被引入疲劳可靠性分析，包括： Monte Carlo[4]、一次二阶矩[4]、Markov扩散理论[5]、响应面法[6]、逆一次二阶矩法[7]等。材料疲劳寿命变异性多为常幅试验结果，但实际工程中承受的一般是变幅或随机载荷。因此，疲劳可靠性分析中还不可避免地涉及疲劳损伤的累积问题，也引入了累积损伤模型的系统误差。

疲劳可靠度分析理论一直是该领域的研究重点。针对传统的应力强度干涉模型的不足，Liao等[8]建议了可以考虑非线性损伤累积的动力干涉模型。倪侃等[9]同建立了疲劳可靠度的二维概率Miner准则。Le等[10]建议了一种未知载荷信息时对结构进行疲劳可靠性分析的方法。通过对已产生疲劳损伤的构件进行剩余寿命测试，并与同类新构件的疲劳寿命进行比较，据此间接地推断受损构件的疲劳载荷特性。Lu等[11]采用等效初始缺陷尺寸法（EIFS）进行了比例及非比例多轴加载条件下的疲劳寿命分析。王春生等[12]根据Bayes定理建立了既有钢桥疲劳可靠度更新模型。Pan等[13]采用gamma随机过程理论及BirnbaumSaunders双变量概率分布分析了具有多个退化路径的疲劳寿命问题。Pipinato等[14]采用线弹性断裂力学研究了交通荷载损伤与地震损伤组合对桥梁疲劳寿命的影响。基于现场监测疲劳载荷谱，Guo等[15]对加固钢桥进行了疲劳可靠性分析。Sih[1619]开展了一系列多尺度疲劳可靠性研究，涉及跨越纳观、介观、宏观尺度时材料的疲劳可靠性分析。徐亚洲：疲劳可靠度分析的概率密度演化方法

本文基于概率守恒原理[20]，从随机损伤演化的角度考察随机源和疲劳损伤的联合概率密度函数在循环加载过程中的变化规律，推导出描述联合概率密度函数在损伤变化率输运过程中满足的演化方程，给出了相应的差分数值解法。最后，通过常幅疲劳及二级加载变幅疲劳试验结果验证了方法的正确性。

1随机疲劳损伤演化方程

1.1随机疲劳损伤模型

其中：Yn为随机损伤过程；n为加载次数；Θ是确定随机损伤的随机参数集合；F是描述参数与随机损伤过程的一般变换，确定着加载次数、疲劳应力幅、累积损伤法则、SN关系等因素与疲劳损伤的关系。事实上，疲劳循环应力本身是一个连续过程，只是采用SN曲线计算疲劳损伤时将其离散为与加载次数有关的过程。此外，与疲劳寿命的数量级相比可以视加载参数为连续变量，故以下基于此进行基本方程的推导。

1.2疲劳损伤的概率密度演化方程

将随机疲劳损伤视为一般随机过程，通过时变概率密度函数可以确定其概率结构的演化规律。为此，考虑初始随机性随疲劳损伤变化率输运时随机损伤与随机参数的联合概率密度函数的变化规律，基于概率守恒原理建立联合概率密度函数的演化方程，据此可实现随机疲劳损伤的演化规律分析。

4结论

考虑疲劳寿命变异性和载荷随机性为疲劳损伤的随机源，基于概率守恒原理推导出随机参数与疲劳损伤联合概率密度函数的损伤演化方程。采用两步LaxWendroff差分格式可以获得联合概率密度函数的数值解，对其在随机参数空间进行积分即可获得随机疲劳损伤的概率密度演化信息。给定损伤失效阈值，可以进一步计算其疲劳可靠度。此外，据此计算的疲劳损伤累积概率分布等值线可用以分析给定损伤阈值时疲劳寿命的可靠度，也可以分析给定加载次数时不同损伤阈值条件下的疲劳可靠度。

根据LY12CZ合金材料常幅试验结果确定其对数疲劳寿命服从正态分布，给出其参数估计值。采用随机损伤演化方程获得随机疲劳损伤概率密度函数的数值解，取损伤阈值等于1计算的疲劳可靠度与试验疲劳可靠度吻合良好。此外，基于冷轧软钢两级载荷各自常幅疲劳寿命分布参数，采用Miner准则计算累积疲劳损伤，根据疲劳损伤概率密度演化方法计算的低高两级加载弯曲疲劳可靠度与试验结果吻合较好。

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（编辑王秀玲）