数形结合思想在函数解题中的应用

王俊刚

摘 要： 本文就以数形结合的思想方法为主，系统的总结了中学数学中数形结合在函数解题中的运用，并结合了与之有关的具有代表性的例题加以引用解释，旨在引导读者，使其明白数形结合思想在中学数学中的重要性。

关键词： 数形结合思想 解题 函数

1 一次函数与数形结合

例1：已知集合 ，若 ，求a的值？

解：如图集合A表示不含点 的直线

： ，集合B表示直线 m：

（1）当直线 与直线m平行时

此时a =1

（2）当直线m经过点（2，3）时，

此时 所以所求的a的值是1或

小结：本题应该是集合运算的范围的，但是给这些数和式以“形”的直观，使抽象空洞的集合运算变得形象具体起来，将集合的问题转化为一次函数的问题来解决，这就体现了数形结合优化解题思想和转化的思想。

2 二次函数与数形结合

例2、已知关于 的方程为 ，有四个不相等的实根，

那么实数 的取值范围为？

解析：根据题意，我们观察所谓的函数式，直接求解，要用到分段函数，太过于复杂。我们可以由方程联想二次函数进行数形结合.如图，以数助形，则简洁明了.设： ， .又 为偶函数，由图可知

3 反比列函数与数形结合

例3、方程 的实根为 、 ，则

分析：本题中的函数方程属于超越函数，直接通过计算是没办法算的，但是分析它们的组成函数，都是基本函数，所以，我们要很快的想到从它们的图像入手，联想原函数与反函数的图象性质进行数形结合，以数助形可巧妙求解。

解：令 ，

如图所示，因为 ， 互为反函数，

所以其图象关于 对称，所以设 得 即

4 函数不等式与数形结合

应用数形结合思想解不等式，要充分了解所求不等式的几何意义，看下面这样一道例题。

例4、设变量 在区间 中取值，试证： .

解：如图，正三角形 边长为1，设点 分别在边 、 和 上，

且有 ， ， 则 ， ，

， ，

即 ，结论得证.

小结：本题直接不好证明，由左边的轮换式可以联想到其面积，由于变量 、 、 在区间 中取值构造出一个边长为1的正三角形.将这些关系统一在一个不等式中，可得到简洁而优美的解法.这道题就充分的凸显的形的直观，数的严谨，两者相互补充，就达到了优化解题的目的。

5 三角函数中的数形结合

例5已知 那么下列正确的命题是（ ）

A、若 、 是第一象限角，则

B、若 、 是第二象限角，则

C、若 、 是第三象限角，则

D、若 、 是第四象限角，则 分析 考察选项A，作单位圆，如图，OA、OB分别为角 、 的终边，因为OC为 的余弦线，OD为 的余弦线，所以有 知A错，依次判断知选D.

小结：在三角函数这块只是中，由于所要记忆的公式特别的多，所以我们要充分的利用图形来解决这类的问题.而单位圆是解决三角函数最常用的工具图形，所以我们必须熟练的掌握和运用.

参考文献

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