谈谈立体几何中高考的热点问题

夏志勇

“立体几何”是历年高考的一大重点，它主要考查同学们的空间想象能力和逻辑思维能力.近几年高考考查的热点问题有哪些呢？

问题1 平行和垂直的证明

立体几何中的平行、垂直分为直线与直线平行（垂直）、直线与平面平行（垂直）、平面与平面平行（垂直），但它们之间并不是孤立的，在一定的条件下它们可以相互转化.例如证明线线平行的方法就有以下四种：

（1）根据公理4；

（2）根据线面平行的性质定理；

（3）根据面面平行的性质定理；

（4）根据线面垂直的性质定理.

2.同学们普遍存在的问题是擅长判定定理的使用，却不善于运用性质定理，从而导致一些隐含信息无法挖掘出来.应用线面平行，面面平行的性质定理解题的关键是利用已知条件作辅助面，然后把已知中的线面或面面平行转化为线线平行.

问题2 面积和体积的计算

进行空间几何体的面积、体积计算时，常用的技巧有“分割”、“补形”、“等积变换”、“立体图形平面化”等.

点评：“折叠问题”是指将平面图形按一定的规则翻折成立体图形，再对立体图形的位置、数量关系进行论证和计算的一类题型.解决折叠问题的关键是：分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.

分析：由于M、N都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P的几何性质，连结DP，因为MN=2，所以PD=1，因此点P的轨迹是一个以D为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球