高考中解析几何的常考题型分析

一、高考定位

回顾2008～2012年的江苏高考题，解析几何是重要内容之一，所占分值在25分左右，在高考中一般有2～3条填空题，一条解答题.填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题主要是以圆或椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.

二、应对策略

复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧.

二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想、向量与导数的方法来解决问题的能力.

三在第二轮复习中要熟练掌握圆锥曲线的通性通法和基本知识.

预测在2013年的高考题中：

1.填空题依然是直线和圆的方程问题以及考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及.

2.在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定值问题.

三、常见题型

1.直线与圆的位置关系问题

直线与圆的位置关系是高考考查的热点，常常将直线与圆和函数、三角、向量、数列、圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数最值、圆的方程等，主要考查直线与圆的相交、相切、相离的判定与应用，以及弦长、面积的求法等，并常与圆的几何性质交汇，要求学生有较强的运算求解能力.

求解策略：首先，要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次，要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘；再次，要掌握解决问题常常使用的思想方法，如数形结合、化归转化、待定系数、分类讨论等思想方法；最后，要对求解问题的过程清晰书写，准确到位.

点评：（1）直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长l2构成直角三角形关系来处理.

（2）要注意分类讨论，即对直线l分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或推理不严谨.

2.圆锥曲线中的证明问题

圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系（相等或不等）.

求解策略：主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.

常用的一些证明方法：

点评：本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为y=±x，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间.

3.“是否存在”问题

所谓存在性问题，就是判断满足某个（某些）条件的点、直线、曲线（或参数）等几何元素是否存在的问题.这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值，若不存在，则要求说明理由.

求解策略：首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.

例3（2012年高考（湖北文））设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|（m>0，且m≠1），当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.

（2）过原点斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，请说明理由.

点评：本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解.对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.

4.定点定值问题的方法

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点，是指某些几何量线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.题型以解答题为主，解决的基本思想从变量中寻求不变，即先用变量表示要求的量或点的坐标，再通过推理计算，导出这些量或点的坐标和变量无关.

常见的类型：（1）直线恒过定点问题；（2）动圆恒过定点问题；（3）探求定值问题；（4）证明定值问题.

点评：（1）椭圆和双曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图的依据和基础，而定义中的定值是求标准方程的基础，在许多实际问题中正确利用定义可以使问题的解决更加灵活.已知圆锥曲线上一点及焦点，首先要考虑使用圆锥曲线的定义求解.

（2）求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量m，k当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x1的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.

5.最值与范围问题

解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.

求参数范围的方法：据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围.

圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.

求解最值问题应注意：

（1）如果建立的函数是关于斜率k的函数，要增加考虑斜率不存在的情况；

（2）如果建立的函数是关于点的坐标x，y的函数，可以考虑用代入消元、基本不等式、三角换元或几何解法来解决问题.

例5（2012年高考（广东理））在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=23，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.

点评：从近两年高考试题来看，直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦的问题是高考的热点问题，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高.客观题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、弦长问题，解答题考查较为全面，在考查上述问题的同时，注重考查函数与方程、转化与化归，分类讨论等思想，所以在备战2013年高考中对于此类问题应引起足够的重视.

6.轨迹问题

求轨迹方程的常用方法：

（1）直接法：将几何关系直接转化成代数方程.

（2）定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程.

（3）代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系.

（4）交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹.

求动点的轨迹方程的一般步骤

（1）建系——建立适当的坐标系；

（2）设点——设轨迹上的任一点P（x，y）；

（3）列式——列出动点P所满足的关系式；

（4）代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；

（5）证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

点评：本小题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用.在求解点M的轨迹方程时，要注意首先写出直线AA1和直线A2B的方程，然后求解.

（作者：潘佩，如皋市第一中学）