浅谈数学之美

温雪琴

一、数学美的含义

我国著名数学家徐利治指出：“数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性，统一性，结构系统的协调性，对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性与普遍性，还有数学中的奇异性都是数学美的具体内容。因此我们可以把数学的美分为结构美、方法美、语言美、逻辑美、非逻辑美、创造美、形态美、内在美、严谨美与应用美。”数学的结构美是一种内在的美，来自各部分的和谐秩序，给人以美的感受。数学的方法美是指数学证明方法与思维方法在解决问题时体现出来的美妙以及使人感到愉快的美感并激发兴趣。数学的语言是—种特殊的语言，它是借助数字符号把数字内容扼要地表现出来，具有准确性、概括性、有序性、简单性、通用性。数学中的逻辑推理是根据所学过的知识来推导出未知的，无论由已知推向结果还是结果反推已知，一步一步的推理，一环扣一环的演绎，都是数学严谨的逻辑美，都给人以破案的神秘感。数学的非逻辑美是一些自然界现实所概括的一些公理定义，如两点确定一条直线，SAS等等，并用它们来证明一些问题。数学的创造美中，不断地由一问题转向别的问题，进而探索发展为一门新的数学分支，如开始只有正数，后来有了负数，再后来扩大到了复数。数学的形态美是指数学美的内容的外部表现形态，即“在数学理论、图形之中，或者数字理论和图形的相互关系中，表现这些关系的定理和公式，所呈现出来的简单、整齐、对称和谐的美”。数学内在美是指数学美的内容诸要素的内部组织结构。数学的应用美是不同的人应用相同的数学概念和方法研究不同的事物，不相同的事物又都服从于同一数学规律。如正多边形镶嵌成的地板图案，各种几何体造型的建筑物，如悉尼大歌剧院。

二、数学美的特征

随着社会历史的发展，数学美的概念在不断的变化和发展，但数学美的内容和基本特征具有相对稳定性，概括起来数学美的主要特征为：和谐性、简洁性和奇异性。

1.和谐性是指数学内容的部分与部分，部分与整体之间的和谐、协调。

如欧几里德的《几何原本》从少量的几个定义、公理、公设出发，按照逻辑规划，推论出467个定理。把当时的几何、代数知识统一于一个严谨的演绎体系中，井然有序，统一协调。在数学方法上，不同类型的问题可以用不变的思想方法来解决，如初中代数里高次多元方程可以通过降次消元思想解，异分母的分式相加减借助于同分母的分式相加减来实现。而一些复杂图形可以采用图形割补方法化归为简单形来解。再如数学形式和结构的对称性，数学解题对称方法，往往使得解决问题的过程简洁明快。具体体现在①数的对称性：如二项展开式系数。②式的对称性：如余弦定理中各个边之间的互换。③图形的对称性：如轴对称、中心对称，尤其是圆和球最美最受青睐。因为圆和球它们在各个方向都对称。因此，圆和球是最完美的图形。亚里士多德也认为球形是诸天体形状中最神圣和最完美的形象。④理论的对称现象，如互逆定理。还有世界上最美最神奇的比例——黄金分割（如果将一条线段分成大小两段，小段与大段的长度之比恰好等于大段的长度与全长之比）。它的近似比为0.618。大画家达·芬奇把它称为“黄金数”。如人的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。在绘画或摄影时常常也把中心放在“黄金分割”点上，使画面给人一种匀称协调、赏心悦目的美感。而弦乐器的琴弦在0.618处弹奏，能使琴声更加柔美。日常生活中，人们用相似的黄金分割比来设计书籍的开本；电影电视屏幕，也就是黄金矩形，图案给人视觉上的美。不变性也是美，千变万化的状态中存在“以不变应万变”的不变量与不变式，例如，加法交换律，平方和不变等等。恰当、适度也是一种美，数学家所追求的充分必要条件，最佳估计，最佳逼近，不多不少及恰当好处等都是一种美的标志。

2.简洁性是指数学理论的逻辑结构简洁，推导、证明书写的简捷以及解答形式的简明，并不是指数学内容本身的简单。

数学中的许多定理、公式、证明都充满着简单的特征。例如“两点之间线段最短”，这条公理表述得多么简练，恰到好处地概括了连接两点之间不同的线、线段最短的规律。再如数学符号的产生和发展，使得数学表达形式极其简单，如求和符号。客观世界中的许多现象可以归纳为抽象数学的一个公式、一个方程或一个函数。例如牛顿的万有引力定律，爱因斯坦的质能公式，内容极其丰富。但表达形式又是如此简单明了等等。简洁性还是数学发现与创造的美学方法之一，如代数运算中乘法的引进，乃是为了避免重复的加法运算；乘方的引进，又是为了避免重复的乘法运算，同时表达方式变得更简单。二进制可以说是从逻辑关系的简单性考虑中所引进的结果；由于追求计算的简单性，导致对数的计算法的产生；几何作图中，为追求较简单的作图工具，引出了“尺规作图”；与最简形式相关，数学中规定了各种标准形式，如曲线方程的标准式。数学家对追求简单的数学美来促进数学创造，给予了极高的评价，自然规律常具有一种数学简单性，数学的这种简单美也正是自然内在的秉性。

3.奇异性是指数学中原有的习惯、法则和统一格局，被新的事物所突破，或出乎意料、超乎想象的结果所带来的新颖和奇特。

例如对于任意三角形，它们的三条中线总是交于一点，我们看到各种三角形都是如此而并非巧合，显示了一种奇巧的美。同样，三角形三条角平分线，三条垂直平分线，三条高也分别交于一点，更进一步认识到即使是最简单的图形——三角形也蕴藏的奇异规律。数学的一种证明方法——反证法，给人感受的美也是一种奇异的内在美。反例的应用往往是对已有的数学理论的突破，对旧的平衡的破坏和新的平衡的建立，推进了理论的重大发展。历史上著名的狄里克莱函数就反证了周期函数不一定存在最小正周期。奇异性还往往伴随着数学方法的出现，如方程中的换元法、数列中的拆项求和、几何中的补形法等积法及数形结合思想方法，无不显示出数学的较高技巧又神奇魅力所在。正如英国物理学家狄拉克说：“上帝使用了美丽的数学来创造这个世界！”数学是美的，数学是美的科学。