一道关于自感系数的习题求解引起的思考

陈小凤 何晓燕 张正阶

摘 要：从一道求解自感系数的习题出发，指出了学生常出现的错误解题方法。经过对自感系数的定义进行分析，理清了全磁通与交链的电流的关系，并给出了两种等效的求解全磁通的方法。

关键词：自感系数；全磁通；电流

一、问题的引入

在一些大学物理教材中，出现过下面这道习题（或类似习题）：一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导线圆筒组成，二者半径分别为R1和R2，圆筒和圆柱之间充以电介质，电介质和金属的μr均可取作1，求此电缆通过电流I（由中心圆柱流出，由圆筒流回）时，单位长度内储存的磁能，并通过和自感磁能的公式比较，求出单位长度电缆的自感系数。

首先，根据安培环路定理，可得到空间磁感应强度为：

文献对这道题给出了简略的解答。

由于Wm=■，所以有单位长度电缆的自感系数为：

从上面的解答过程我们可以看到，文献给出的解题思路为：首先从磁场能量密度公式出发，得到单位长度同轴电缆所储存的能量，然后再通过和自感磁能的公式Wm=■比较，得到单位长度同轴电缆的自感系数为L=■+■ln■，这样思路清晰，结果明确。

但是对于自感系数的求解，有部分学生直接根据公式L=■，得到了另外一个结果。

下面给出详细解答过程。

解：在导体内部，选择沿轴线方向长为单位长度，宽为dr构成的矩形面积元dS=1·dr

则该面积元的磁通为：

穿过单位长度内导体的磁通量为：

同理，穿过单位长度内外两导体间的磁通量为：

因此，得到单位长度电缆的自感系数为：

这个结果和习题集给出的解答结果不一样。问题出在哪里呢？

二、对问题的思考

通过对问题以及两种解题思路进行分析得出，第一种解法，从能量密度公式出发，得到的结果具有普遍意义；第二种解法从自感系数的一般定义出发得到的结果与前一方法的结果不同，其原因是对自感系数定义的理解不准确。

我们来回顾一下什么是线圈的自感系数，大学物理教材给出的定义为：当一个回路通有电流I时，回路中的全磁通与电流成正比，这个比例系数叫回路的自感系数，即：L=■。

什么又是全磁通？文献给出的定义是：实际上用到的线圈常常是许多匝串联而成的，ψ=■Φi是穿过各匝线圈的磁通量的总和，叫穿过线圈的全磁通。当穿过各匝线圈的磁通量相等时，N匝线圈的全磁通为ψ=NΦ，叫做磁链。

从以上的定义中我们可以看到，回路中的全磁通Ψ与电流I紧密相连，因此，在计算导体回路的自感时，电流I和对应的全磁通Ψ的关系一定要搞清楚。

在本文的这个例题中，全磁通由两部分组成，一部分是导体内部区域的，一部分是两导体间的。学生的做法中，对两导体间的全磁通求解没有问题。但是对导体内部区域的全磁通的求解不正确。以下给出两种求解导体内部区域的全磁通方法。

1.第一种求全磁通的方法

在导体内部，穿过沿轴线方向长为单位长度，宽为dr构成的矩形面积元dS=1·dr的磁通量为dΦ1=■·d■=■dr

但是注意，该磁通并不是由全部的电流I产生，而是在半径为r内的圆内所包围的电流产生的，也就是全部电流I的一部分，即：I′=■I，也就是说，与dΦI相对应的等效匝数为：N=■。

所以，与dΦI相对应的磁链应为：dΨ1=■dΦI=■dr

内导体中单位长度的自感磁链总量为：

2.第二种求全磁通的方法

在导体内部，半径为r，宽为dr的电流元为：

di=■·2πrdr

与该电流元相关的单位长度的磁通量（如图中阴影部分区域）为：

内导体中单位长度的有效磁链总量为：ψ1=■■Φdi=■■（1-■）·■2πrdr=■。

可见，只要把全磁通是与交链的电流的关系搞清楚了，两种方法都可以求出内导体中单位长度的总磁通。

由于内外导体之间的总磁链仍然为：ψ2=■dΦ2=■■dr=■ln■。因此，得到单位长度电缆的自感系数为：L=■=■+■ln■。

这样，思路正确了，得到的结论也和从能量的角度出发计算出的结果完全吻合。

从以上分析可以看到，一般大学物理教材对线圈自感系数给出的定义比较粗略：当一个电流回路通有电流I时，回路中的全磁通与电流成正比，这个比例系数叫回路的自感系数，即：L=■。这个定义，对于导体是一维的，也就是说当可以忽略导体的横截面积，只考虑有线电流流过导体时，这个定义很清晰。而对于教材中出现的自感系数的求解例题，一般给出的也多是一维情况，所以求出的磁通都是电流I全部产生的，线圈的匝数都是整数匝，没有歧义。但是对于三维导体形成的回路，在导体内部的磁场仅与部分电流有关，这时候匝数就出现了分数匝，而更准确地说，全磁通Ψ应该是磁感线与电流交链的物理量。因此，文献给出的定义：设回路中的电流为I，所产生的磁场与回路C交链的自感磁链为Ψ，则磁链与回路中的电流成正比关系，其比值L=■称作回路中的自感系数，简称自感。这个定义更为准确点。

其实，对于三维导体回路的自感系数的计算方法，已经有文献指出，有三种方法。

1.磁能法

利用了公式Wm=■■■dV，即本文中的第一种解法。

2.磁链法

L=■，其中，ψ=■■idΦ，其中dΦ是某个元磁力管L内的磁通，i则为与此磁力管相链接的电流强度，积分遍及所有磁力管的横截面。这和本文中的所指出的求解全磁通的第一种解法吻合。

3.平均磁通法

ψ=■Φdi，其中，di是某个元电流管L′内的电流强度，Φ则为与此电流管相链接的磁通，积分遍及所有电流管的横截面，这即为本文所指出的求解全磁通的第二种解法。

方法（1）可认为是最基本的，方法（2）（3）都从磁通与电流不完全链接的概念出发，对磁通匝数作了某种有权重的平均，只不过在计算中磁通与电流所处的地位对调，而且该文也证明了三种表达式是等价的。

参考文献：

[1]张三慧.大学物理学.3版.清华大学出版社，2009-02.

[2]马文蔚.物理学上册.5版.高等教育出版社，2006-02.

[3]张三慧.大学物理学学习辅导与习题解答.清华大学出版社，2009-03.

[4]杨显清.电磁场与电磁波.国防工业出版社，2003-07.

[5]赵凯华.也谈“三维导体”的自感系数.大学物理，1985（4）.

（作者单位 成都理工大学地球物理学院应用物理系）