高考数学中美妙的“1 ”的应用

侯志豪　姜宁　李菲菲

【摘要】对1的应用说易也易，说难也难，关键是如何应用得妙不可言.从小学我们就认识了1，从小学角度认识1是最小的整数.再稍微深点认识就是1是一个整体，而这一整体在高中数学解题中又蕴含了整体思想.1也可以说是一个角正弦与余弦的平方和，也可以理解为正切与余切的积.还有很多条件求值的题目也可以运用对1的转化.1的应用很广泛，可以贯穿整个高中数学.本文将结合高中数学几大重要思想方法从三角函数、基本不等式、柯西不等式等多方面对1进行巧妙地应用.

【关键词】“1”；三角函数；基本不等式；柯西不等式；数学思想方法

高考数学中，美妙的“1”的应用有着重要的地位，在求解三角形、不等式问题时有着不可替代的作用.由此可看出研究它的重要性和必要性.本文就如何巧妙地运用1，该问题有何性质特点及在高考中还有何延伸题型作了详细的探讨和研究.

一、1在三角函数中的应用

例1 已知tan α=2，求2sin2α+3sinαcosα-5cos2α的值.

分析 已知tanα=sinαcosα，要求的是关于弦的整式，如何将弦转化为切呢？我们可以在分母中引入1，而sin2α+cos2α=1，再将1用sin2α+cos2α进行代换，该题将迎刃而解.

解 2sin2α+3sinαcosα-5cos2α

=2sin2α+3sinαcosα-5cos2αsin2α+cos2α

=2·sin2αcos2α+3·sinαcosαcos2α-5sin2αcos2α+1

=2tan2α+3tanα-5tan2α+1

=2×22+3×2-522+1

=95.

二、1在基本不等式中的应用

1在基本不等式中的应用可分为：直接代换、变换条件代换、创造条件代换这几种代换类型.笔者将从近几年高考试题的亮点，重点研究创造条件用1来代换.

例2 已知00，n>0，求y=m2x+n21-x的最小值.

分析 本题条件中没有给出含1的等式，无法直接用1的代换法求解，我们要创造条件代换，但观察待求函数，易知其分母之和为1，故可将1=x+（1-x）代入所求函数式，即可用1的代换法求解.

解 y=m2x+n21-x=m2x+n21-x[x+（1-x）]

=m2+n2+m2（1-x）x+n2x1-x

≥m2+n2+2mn=m+n2，

当且仅当m2（1-x）x=n2x1-x，即x=mm+n时等号成立.

故ymin=m+n2.

三、1在柯西不等式中的应用

1在配柯西不等式有很多技巧.尤其是在解题过程中如何巧妙合理地运用1，这里是体现了1的美，更体现了代数的美.下面将从一道高考题中享受这一美的过程.

例3 已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，试求a的取值范围.

分析 本题条件中没有给出含1的等式，无法直接用1的代换法求解，但观察发现12+13+16=1，将用12+13+16=1来配柯西不等式.

解 由柯西不等式得（2b2+3c2+6d2）12+13+16≥（b+c+d）2，

即2b2+3c2+6d2≥（b+c+d）2.

由条件可得5-a2≥（3-a）2，解得1≤a≤2，

当且仅当2b12=3c13=6d16时等号成立，

代入b=1，c=13，d=16时，amax=2；

代入b=1，c=23，d=13时，amin=1.

故所求实数a的取值范围是[1，2].

总之，对1在高考数学解题的探究是一项创造性和挑战性的活动，它不仅仅有利于创造性思维的培养，而且对学生的思维品质的培养和学生的数学素养的提高起着不可低估的作用.事实上这些方法不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得到顺利解决.至于这些技巧的由来需要平时的积累和总结.在教学过程中可以大胆想象和归纳，这样你的思维就能得到很大提升.实际上1还有很深的内涵，由于笔者水平有限不能想到，望大家补充指正.

【参考文献】

＼[1＼]李彭.常见三角函数最值的求法.数学之友，2012（3）.

＼[2＼]周银霞.三角函数最值的求法.数学之友，2012（4）.

＼[3＼]张礼恩.三角函数最值求解常用“十策”.数学之友，2012（4）.

＼[4＼]赵海晶.不等式中恒成立问题的解法研究.数学之友，2012（2）.