化圆为方

李先铜

【摘要】古希腊三大几何问题，数学家说是无解.今天，我找到了答案.现将第一题，化圆为方解答如下.

【关键词】化圆为方；尺规（半圆规）；弧度线；后记；圆的运动功能

古希腊三大几何问题第一题：化圆为方.即作一个正方形与给定的圆面积相等.作图时，要求用直尺和圆规.

我把答案分三步骤：一、证明圆等于方；二、找出相等的圆与方；三、尺规作图.

一、求证：圆等于方

几何分析：在一正方形内作内切圆，圆的面积小于正方形的面积.设正方形面积不变.现在，增加圆的面积.使圆从正方形的内切圆，逐渐增大变成正方形的外接圆.圆的面积大于正方形的面积.推理：在这个面积变化过程中，有一个瞬间，圆的面积正好等于正方形的面积.即：○<匚，○=匚，○>匚.由此证明：圆一定能等于方.

二、找出相等的圆和方

1.圆与方相等时，圆不可能在方内小于方，也不可能在方外大于方.圆与方必须相交.

2.它们相交有8个点，这说明，圆从圆心向四周发了8条射线.

3.这时，圆露出4个小弓形于方外，方露出4个小尖角于圆外.在圆与方面积相等时，圆的小弓形等于方的小尖角.

4.经过分析，当圆的小弓形的弧长等于圆半径时，圆与方面积相等.

三、作出与圆面积相等的正方形

1.用尺规——半圆规（又名量角器，去掉刻度），作出给定圆.

2.将圆对折，得到半圆；再次折叠，得四分之一圆.将四分之一圆展开，并画出十字折叠线.折叠线的交点就是圆心，半径也一目了然.

3.作出4条弧度线.用半圆规的圆边，在圆半径直线上滚动，得到与半径等长的弧GH，得到点H——弧度点，再作出H与圆心F的直线FH——弧度线，并延伸，得到另一条弧度线.然后，作出FH过F点的垂直线——另外两条弧度线，从而得到圆的4条弧度线.并且在圆周上得到8个点，即折叠十字线与圆相交的4个点和4条弧度线与圆相交的4个点，共8个点.

4.把这8个点，如图相连，并延伸，使它们在给定圆外，相交4个点构成一个正方形BCDE.

5.求证：正方形BCDE的面积等于给定圆的面积.

证明：

∵GH弧=圆半径，

∴S扇形FGH=S△FGI.S扇形FHI=S弓形GHI.

∵已知（步骤二，第3点已证出）当○=匚时，

S小弓形GH=S小尖角HCI，

∴S弓形GHI=S△GCI.

∵S扇形FHI=S弓形GHI，S弓形GHI=S△GCI，

∴S扇形FHI=S△GCI.

∵S1/4圆=S扇形FGH+S扇形FHI=S△FGI+ S△GCI=S1/4方，

∴正方形BCDE的面积等于给定圆的面积.

四、后 记

1.圆与方面积可以相等，而且任意一个圆都有和它面积相等的正方形.它们的关系是一一对应相等.

2.如果圆的面积是个无理数，那么方的面积也是无理数.如果方的面积是整数，圆的面积也是整数.

3.我们用直尺画出直线.其实作出直线的方法很多，比如将线两端固定，拉直；比如我们搞建筑，木工用的墨线.

4.我们用两脚规画圆.其实，我们作圆的方式很多，比如用半圆规、环圆规、孔圆规.因此，我们把圆规限定为两脚规，是不科学的，也是不明智的.

5.半圆规，其实就是尺规.因为它既可以当尺用，作直线，又可以当圆规用，作圆.它凝聚了尺与规的双重功能，把尺规统一了起来.所以，它应该叫做尺规.两千多年前，规定的尺规的两脚规没有圆的滚动和折叠的功能，是有缺陷的圆规.为了对圆进行更深刻的研究，我们就必须运用圆自身的运动功能，圆的滚动和折叠功能.过去，我们没有用到圆的自身的滚动和折叠的功能，忽视了圆的运动，以至于画圆为方问题，两千五百多年来没有答案.

6.今天，我用到了圆的滚动和折叠的运动功能，很轻松地解决了.两千多年来数学家、科学家未能解答的数学神话，这是一个传奇.